\(a=4^{n+2}-3^{n+2}-4^n-3^n\)

\(a=\left(4^{n+2}-4^n\right)-\left(3^{n+2}+3^n\right)\)

\(a=\left(4^n.4^2-4^n.1\right)-\left(3^n.3^2+3^n.1\right)\)

\(a=4^n.15-3^n.10\)

\(a=4^{n-1}.4.15-3^{n-1}.3.10\)

\(a=4^{n-1}.2.30-3^{n-1}.30\)

\(a=30\left(4^{n-1}.2-3^{n-1}\right)⋮30\left(đpcm\right)\)

\(4^{n+2}-3^{n-2}-4^n-3^n\)

\(=4^{n+2}-4^n-3^{n-2}-3^n\)

\(=4^n\left(4^2-1\right)-3^n\left(3^2+1\right)\)

\(=4^n.15-3^n.10\)

\(=4^{n-1}.4.15-3^{n-1}.3.10\)

\(=4^{n-1}.60-3^{n-1}.30\)

\(=30\left(4^{n-1}.2-3^{n-1}\right)⋮30\left(đpcm\right)\)

Bài 2:

a) \(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3-2\)

\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3-2\)

\(=5n^2+5n-4\)

Mà 5n² + 5n chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5

=> \(5n^2+5n-4\) không chia hết cho 5

=> điều cần cm sai

Bài 2:

b) \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)\)

\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4\)

\(=6n\) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

=> đpcm

a) Gọi 5 số tự nhiên đó là a; a+1; a+2; a+3;a+4

Tổng 5 số đó là a + a+1 + a+2 + a+3 + a+4

= (a+a+a+a+a) + (1+2+3+4)

= 5a + 10

= 5(a+2) chia hết cho 5

Vậy tổng của 5 số tự nhiên chia hết cho 5

Câu a:

Với n = 0 ta có:

A = 6\(^{2n+1}\) + 5\(^{n+2}\)

= 6 + 5\(^2\)

= 6 + 25

= 31

31 chia 3 dư 1

Vậy chứng minh: A ⋮ 3 ∀ n là không thể

Câu b:

B = \(3^{4n+1}\) + 3.10 - 13

Với n = 0 ta có:

B = 3\(^1\) + 3.10 - 13

B = 3+ 30 - 13

B = 30 + (3 - 13)

B = 30 - 10

B = 20

20 không chia hết cho 64. Vậy chứng minh B chia hết cho 64 với mọi n là số tự nhiên là không thể.