\(3,1+5^2+5^4+...+5^{26}\)

\(=\left(1+5^2\right)+\left(5^4+5^6\right)+...+\left(5^{24}+5^{26}\right)\)

\(=\left(1+5^2\right)+5^4\left(1+5^2\right)+...+5^{24}\left(1+5^2\right)\)

\(=26+5^4.26+...+5^{24}.26\)

\(=26\left(5^4+...+5^{24}\right)\)

Vì  \(26⋮26\)

\(\Rightarrow26\left(5^4+...+5^{24}\right)⋮26\)

\(\Rightarrow1+5^2+5^4+...+5^{26}⋮26\)

\(4,1+2^2+2^4+...+2^{100}\)

\(=\left(1+2^2+2^4\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=\left(1+2^2+2^4\right)+....+2^{98}\left(1+2^2+2^4\right)\)

\(=21+2^6.21...+2^{98}.21\)

\(=21\left(2^6+...+2^{98}\right)\)

Có : \(21\left(2^6+...+2^{98}\right)⋮21\)

\(\Rightarrow1+2^2+2^4+...+2^{100}⋮21\)

Bài 1a:

A = 2 + 2^2 + 2^3+ ...+ 2^100

2A = 2^2 + 2^3 + ...+ 2^101

2A - A = 2^2 + 2^3 + ...+ 2^101 - 2 - 2^2 - 2^3 - ... - 2^100

A = (2^2 - 2^2) + (2^3 - 2^3) + ... + (2^100 - 2^100) + (2^101 - 2)

A = 0+ 0+ 0 + ...+ 0 + 2^101 - 2

A = 2^101 - 2

Bài 2a:

A = 7^6 + 7^5 - 7^4

A = 7^4.(7^2 + 7 - 1)

A =7^4.(49 + 7 - 1)

A =7^4.(56 - 1)

A =7^4.55

A = 7^3.(7.11).5

A = 7^3.77.5 ⋮ 77 (đpcm)

+) chia hết cho 2 :

Dễ thấy tất cả các hạng tử của 2 đều chia hết cho 2

=> A chia hết cho 2

+) chia hết cho 3 :

A = 2 + 2² + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

A = ( 2 + 2² ) + ... + ( 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

A = 2 ( 1 + 2 ) + ... + 2⁹⁹ ( 1 + 2 )

A = 2 . 3 + ... + 2⁹⁹ . 3

A = 3 . ( 2 + ... + 2⁹⁹ ) chia hết cho 3

+) chia hết cho 15 : tương tự 

Gợi ý : nhóm 4 số một

+) chia hết cho 31 : tương tự

Gợi ý : nhóm 5 số một

Lưu ý : 

\(\Rightarrow\)

Ai trả lời được sẽ được tặng 3 k !

Nhanh lên nha các bạn !

a, Ta có: \(M=7^{2019}+7^{2018}-7^{2017}.\)

\(=2017^{2017}\left(7^2+7-1\right)=55.2017^{2017}\)

\(=11.5.2017^{2017}⋮11\)

f,\(2P=2^2+2^3+2^4+...+2^{60}+2^{61}\)

\(2P-P=P=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{60}+2^{61}\right)-\left(2+2^2+2^3+...+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(P=2^{61}-2\)

Câu 1:

A =2^1 + 2^2+ ..+ 2^2010

Xét dãy số: 1; 2; 3;..;2010

Dãy số trên có 2010 số hạng:

Vì 2010 : 2 = 1005

Nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào nhau khi đó:

A = (2^1 + 2^2) + (2^3 + 2^4)+ ..+ (2^2009 + 2^2010)

A = 2.(1+2) + 2^3.(1+ 2) +..+ 2^2009.(1+ 2)

A = (1+2).(2+2^3+..+2^2009)

A =3.(2+2^3+..+2^2009) ⋮ 3(đpcm)

Vì 2010 : 3 = 670

Nhóm 3 số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:

A = (2^1+ 2^2+ 2^3) +..+ (2^2008+ 2^2009 + 2^2010)

A = 2(1+2+2^2) +..+2^2008.(1+2+2^2)

A = (1+2+2^2).(2 + ..+ 2^2008)

A = (1+2+4).(2 +..+2^2008)

A = 7.(2+ ..+2^2008) ⋮ 7(đpcm)

Câu 2:

A = 3^1+ 3^2+ ..+ 3^2020

A = Xét dãy số 1; 2; 3;..;2010

Dãy số trên có: 2010 số hạng:

Vì 2010 : 2 = 1005

Nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào nhau khi đó:

A = (3^1+3^2)+..(3^2009 + 3^2010)

A = 3.(1+3)+..+3^2009.(1+3)

A = (1+3).(3+..+3^2009)

A = 4.(3+..+3^2009) ⋮ 4(đpcm)

Vì 2010 : 3 = 670

Nhóm 3 số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:

A = (3+3^2+3^3) + ..+(3^2008+ 3^2009 + 3^2010)

A = 3.(1+3+3^2) +..+ 3^2008.(1+3+3^2)

A = (1+3+3^2).(3+..+3^2008)

A = (1+3+9).(3+..+3^2008)

A =13.(3+..+3^2008) ⋮ 13(đpcm)

Câu a:

A = 1+ 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2011

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3;...; 2011

Dãy số trên có số số hạng là:

(2011 - 0) : (1 - 0) + 1 = 2012 (số hạng)

Vì 2012 : 4 = 503

Nhóm 4 số hạng của A vào nhau ta được:

A = (1+ 2 + 2^2+ 2^3 ) + ... + (2^2008 +2^2009 + 2^2010+ 2^2011)

A = (1 + 2 + 2^2 + 2^3) + ..+ 2^2008.(1 + 2 + 2^2 + 2^3)

A = (1+ 2+ 2^2+ 2^3).(1 + ...+ 2^2008)

A = 15.(1 +...+ 2^2008)

A = 3.5.(1+...+ 2^2008)

A ⋮ 3; 5

A = 1+ 2 + 2^2 + 2^3 +..+ 2^2011

Xét dãy số: 0; 1; 2;...;2011

Dãy số trên có số số hạng là: (2011 - 0) : 1+ 1 = 2012

Vì 2012 : 4 = 503

Nhóm 3 số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:

A = (1+ 2 + 2^2 + 2^3) + ..+ (2^2008 + 2^2009 + 2^2010 + 2^2011)

A =(1+ 2 +2^2 +2^3) +..+2^2008.(1+ 2+2^2+2^3)

A = (1+2+2^2+2^3).(1+..+2^2008)

A = (1 + 2+ 4 + 8)(1+..+2^2008)

A = 15.(1+..+2^2008)

A = 3.5.(1+..+2^2008) ⋮ 3;5