T: Câu hỏi của Nguyen Thi Thu Huong - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Chứng minh: m và n không chia hết cho 3, khi đó:

m= 3a(+-)1, n=3b(+-)1 (a,b thuộc N) (hoặc cộng hoặc trừ)

=> m^2+n^2= 9.a^2(+-)6a+1+9.b^2(+-)6b+1= 3(3.a^2(+-)2a+3.b^2(+-)2b)+2

vì 3(3.a^2+2a+3.b^2+2b) chia hết cho 3 mà 2 không chia hết cho 3=> m^2+n^2 không chia hết cho 3 là trái giả thiết

vậy m^2+n^2 chia hết cho 3 thì m+n chia hết cho 3

vậy m^2+n^2 chia hết cho 3 thì m và n chia hết cho 3

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{28}+3^{29}+3^{30}\)

\(A=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{29}+3^{30}\right)\)

\(A=1\left(3+3^2\right)+3^2\left(3+3^2\right)+....+3^{28}\left(3+3^2\right)\)

\(A=\left(1+3^2+...+3^{28}\right)\left(3+3^2\right)\)

\(A=13\left(1+3^2+...+3^{28}\right)⋮13\left(đpcm\right)\)

Ta có: 

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{2004}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2002}+3^{2003}+3^{2004}\right)\)

\(=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2002}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=\left(3+3^4+...+3^{2002}\right)\left(1+3+3^2\right)\)

\(=\left(3+3^4+...+3^{2002}\right).13\)

=> A chia hết cho 13                  (1)

Lại có: 

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{2004}\)

\(=\left(3+3^3\right)+\left(3^2+3^4\right)+...+\left(3^{2001}+3^{2003}\right)+\left(3^{2002}+3^{2004}\right)\)

\(=3\left(1+3^2\right)+3^2\left(1+3^2\right)+...+3^{2001}\left(1+3^2\right)+3^{2002}\left(1+3^2\right)\)

\(=\left(3+3^2+...+3^{2001}+3^{2002}\right)\left(1+3^2\right)\)

\(=\left(3+3^2+...+3^{2001}+3^{2002}\right).10\)

=> A chia hết cho 10                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 130

Ta có: 3A   = 3(3+3²+...+3²⁰⁰⁴)

           3A   = 3²+3³+...+3²⁰⁰⁵

           3A-A= 3²⁰⁰⁵ + 3

            2A   = 3²⁰⁰⁵ +3

             A     = 3²⁰⁰⁵ + 3 / 2

Vì A có 2004 số hạng, nhóm A thành các nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng

    =>A=(3+3² +3³ +3⁴ )+(3⁵+3⁶ +3⁷+3⁸)+...+(3²⁰⁰¹+3²⁰⁰²+3²⁰⁰³+3²⁰⁰⁴)

         A=(3+3²+3³+3⁴)+3⁴(3+3²+3³+3⁴)+...+3²⁰⁰⁰(3+3²+3³+3⁴)

         A=(1+3⁴+...+3²⁰⁰⁰)(3+3²+3³+3⁴)

         A=(1+3⁴+...+3²⁰⁰⁰).180(chia hết cho 180)

Vậy A chia hết cho 180 (đpcm)

Bài 2:

\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{2009}\left(1+2\right)\)

\(=3\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)⋮3\)

\(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)