a,=3³.2³.5-3⁵

     =3³.[2³.5-3²]

     =3³.31 chia het cho 31

Vậy........

b,c tương tự nha bn

Khá dễ khi ta dùng đồng dư !

Vì n không chia hết cho 3 nên ta xét 2 dạng của n \(\hept{\begin{cases}n=3k+1\\n=3k+2\end{cases}}\left(k\inℕ\right)\)

Nếu \(n=3k+1\) thay vào ta được:

\(5^{2n}+5^n+1=5^{6k+2}+5^{3k+1}+1\)

\(=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^2+\left(5^3\right)^k\cdot5+1\)

\(=125^{2k}\cdot25+125^k\cdot5+1\)

\(\equiv1\cdot25+1\cdot5+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)\)

=> Thỏa mãn

Nếu \(n=3k+2\) thay vào ta được:

\(5^{2n}+5^n+1=5^{6k+4}+5^{3k+2}+1\)

\(=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^4+\left(5^3\right)^k\cdot5^2+1\)

\(=125^{2k}\cdot625+125^k\cdot25+1\)

\(\equiv1\cdot5+1\cdot25+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)\)

=> Thỏa mãn

Vậy với mọi n không chia hết cho 3 thì \(5^{2n}+5^n+1\) chia hết cho 31

Thực ra thì mấy câu này cx tương tự như nhau nên mk chỉ lm 1 câu, còn lại b tự lm tiếp nhé!

a/ \(A=2+2^2+2^3+.........+2^{2010}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+.......+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+.......+2^{2009}\left(1+2\right)\)

\(=2.3+2^3.3+.......+2^{2009}.3\)

\(=3\left(2+2^3+.......+2^{2009}\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

\(A=2+2^2+2^3+........+2^{2010}\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+......+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+......+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2.7+2^4.7+........+2^{2008}.7\)

\(=7\left(2+2^4+.......+2^{2008}\right)⋮7\left(đpcm\right)\)

Cảm ơn bạn nhiều

Nếu ko có bạn thì mai mình ko thi đc học kì đc đâu!

Câu a:

A = 5 + 5^2 + 5^3

A = 5.(1+ 5 + 5^2)

A = 5.(1+ 5+ 25)

A = 5.(6 + 25)

A = 5.31

A ⋮ 31 (đpcm)

Câu b:

A = 5+ 5^2+ 5^3 + ..+ 5^99

Xét dãy số: 1; 2; 3; ..; 99

Dãy số trên có 99 số hạng vì 99 : 3 = 33

Nên ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A vào nhau khi đó:

A = (5+ 5^2+ 5^3) + ..+ (5^97+ 5^98 + 5^99)

A = 5.(1+5+5^2) + ..+ 5^97.(1+5+5^2)

A = (1+5+5^2).(5+ ..+ 5^97)

A =31.(5+..+5^97)

A ⋮ 31 (đpcm)

1) B = 3¹ + 3² +...+ 3²⁰¹⁰

= (3+3²) + (3³ + 3⁴) + ...+ (3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰ )

= 3(1+3) + 3³(1+3) + ...+ 3²⁰⁰⁹(1+3)

= 3.4 + 3³.4 + ...+ 3²⁰⁰⁹.4

= 4(3+ 3³ +...+ 3²⁰⁰⁹) \(⋮\) 4 (1)

B = (3+ 3² + 3³) +(3⁴ + 3⁵ + 3⁶ ) +...+ (3²⁰⁰⁸ + 3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰)

= 3(1+3+3²) + 3⁴(1+3+3²) + ...+ 3²⁰⁰⁸(1+3+3²)

= 3.13 + 3⁴.13 + ...+ 3²⁰⁰⁸.13 \(⋮\) 13 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

b) Làm tương tự như câu a)

3)

a) Số chữ số chia hết cho từ đến là

(số)

b)Ta thấy

0 (mod 9)

=> 10¹⁵ + 8 \(⋮\) 9

Tương tự chia hết cho 2 ( 10¹⁵ và 8 chẵn)

c) 10²⁰¹⁰ + 8 = 1000....0 (2010 chữ số 0 ) + 8 = 1000...08 (2009 chữ số 0) có tổng các chữ số : 1 + 0+ 0+...+0+8 = 9 chia hết cho 9

=> 10²⁰¹⁰ + 8 chia hết cho 9

d) Ta có : ab + ba

= 10a + b + 10b + a

= 11a + 11b

= 11(a+b) \(⋮\) 11

e) Ta có : aaa = 100a + 10a + a = (100+10+1)a = 111a = 37.3.a \(⋮\) 37

Chúc bn học tốt !

 cau 1 minh ra 6

Cau 1 ra d­u 6 . minh hoc rui day la bai dong du