a>

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000

ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )

1/100^2<1/2

=>A<1

oke

Ta có: 

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}...+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}\)

\(=\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{75}\right)+\left(\frac{1}{76}+\frac{1}{77}+...+\frac{1}{100}\right)\)

Ta có:\(\frac{1}{51}>\frac{1}{52}>...>\frac{1}{75};\frac{1}{76}>\frac{1}{77}>...>\frac{1}{100}\)

Tự giải tiếp hay nhờ thầy cô giảng tiếp đi nha bn, mỏi tay nên ko thể làm đc nữa !!

CMR A = 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2

A = 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17

Vì 1/6 < 1/7 < 1/8 < 1/9 < 1/5 và 1/10 < 1/11 < 1/12 < 1/13 < 1/14 <1/15 < 1/16 < 1/17 < 1/8 nên:

A = (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) + (1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14+ 1/15 + 1/16 + 1/17)

A < (1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8+1/8 + 1/8 + 1/8)

A < 1 + 1

A < 2

Vậy: A < 2 (đpcm)

a, ta xét:

\(\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}< \frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{6}< \frac{6}{7}\)

.....

\(\frac{99}{100}< \frac{100}{101}\)

=>\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{99}{100}< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{100}{101}\)

hay:A<B(đpcm)

b,\(A.B=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.....\frac{100}{101}\)

\(=\frac{1.2.3....100}{2.3.4....101}=\frac{1}{101}\)

c,vì A<B (theo phần a)

=>A.A<B.A

Mà B.A=\(\frac{1}{101}\)

=>A²<101

Mà A²=\(\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}\right)^2\)

=>\(\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}\right)^2\)<\(\frac{1}{101}\)<\(\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}\)

=>\(\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}\right)^2\)<\(\frac{1}{10^2}\)

=>\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{99}{100}< \frac{1}{10}\)

Hay A<\(\frac{1}{10}\)

a: \(P=5+5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{102}\)

\(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdots+\left(5^{101}+5^{102}\right)\)

\(=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+\cdots+5^{101}\left(1+5\right)\)

\(=6\left(5+5^3+\cdots+5^{101}\right)\) ⋮6

b:Sửa đề: \(A=1+4+4^2+4^3+\cdots+4^{99}\)

\(=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+\cdots+\left(4^{98}+4^{99}\right)\)

\(=\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+\cdots+4^{98}\left(1+4\right)\)

\(=5\left(1+4^2+\cdots+4^{98}\right)\) ⋮5

c: \(B=1+2+2^2+\cdots+2^{98}\)

\(=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+\cdots+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}\right)\)

\(=\left(1+2+2^2\right)+2^3\left(1+2+2^2\right)+\cdots+2^{96}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(1+2^3+\cdots+2^{96}\right)\) ⋮7

d:Sửa đề: \(C=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{103}\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+\cdots+\left(3^{100}+3^{101}+3^{102}+3^{103}\right)\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+\cdots+3^{100}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=40\left(1+3^4+\cdots+3^{100}\right)\) ⋮40

vì số 6^100=6.6.6.6.6.6.....6.6.6 có 100 số

mà 6.6 chắc chắn =6 suy ra 6.6.6.6....6.6.6 sẽ có tận cùng =6

sau đó còn -1 thì chữ số tận cung sẽ =5 

vì số nào có chữ số tận cùng =5 hoặc 0 sẽ chia hết cho 5 

suy ra só đó chia hết cho 5 

*Có : 5² < 5.6 => \(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\)

         6² < 6.7 =>\(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\)

   ....

         100² < 100 . 101 => \(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)

Cộng từng vế có :

\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)

\(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}\)

Mà \(\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{101-5}{105}=\frac{96}{505}\)

=> \(A>\frac{96}{505}\)

Mà \(\frac{1}{6}=\frac{96}{576}< \frac{96}{505}\)

=> \(A>\frac{1}{6}\)(1)

*Có 5² > 5.4 => \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{5.4}\)

.......

    100² > 100.99 => \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100.99}\)

Cộng từng vế có :

........ => A < \(\frac{96}{400}\)

Có \(\frac{1}{4}=\frac{100}{400}>\frac{96}{400}\)

=> A < \(\frac{1}{4}\)(2)

Từ (1)(2) => đpcm

\(\text{Ta thấy :}\)

\(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\)

\(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\)

\(......................................\)

\(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{101-5}{105}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{6}\left(1\right)\)

\(\text{Lại thấy :}\)

\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{5.4}\)

\(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6}\)

\(..................................\)

\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100.99}\)

\(\text{Tương tự như trên ta tính được }:\)

\(A< \frac{96}{400}< \frac{100}{400}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}\left(2\right)\)

\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\)