a) \(A=1+3+3^2+.....+3^{10}⋮4\)

\(=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+.......+\left(3^9+3^{10}\right)\)

\(=\left(1+3\right)+\left(3^2\cdot1+3^2\cdot3\right)+.....+\left(3^9\cdot1+3^9\cdot3\right)\)

\(=\left(1+3\right)+3^2\left(1+3\right)+....+3^9\left(1+3\right)\)

\(=4\cdot1+3^2\cdot4+.......+3^9\cdot4\)

\(=4\cdot\left(1+3^2+.....+3^9\right)⋮4\)

Do đó A \(⋮\) 4

b) \(B=16^5+2^{15}⋮33\)

Ta có \(B=16^5+2^{15}\)

\(=\left(2^4\right)^5+2^{15}\)

\(=2^{20}+2^{15}\)

\(=2^{15}\cdot2^5+2^{15}\cdot1\)

\(=2^{15}\cdot\left(2^5+1\right)\)

\(=2^5\cdot\left(32+1\right)\)

\(=2^{15}\cdot33⋮33\)

Do đó \(B⋮33\)

\(\left(7a+3b\right)⋮23\Leftrightarrow17\left(7a+3b\right)⋮23\)(vì \(\left(17,23\right)=1\))

\(\Leftrightarrow\left(119a+51b\right)⋮23\Leftrightarrow\left(119a-5.23a+51-2.23b\right)⋮23\)

\(\Leftrightarrow\left(4a+5b\right)⋮23\)

Do ta biến đổi tương đương nên điều ngược lại cũng đúng. 

\(S=3+3^2+3^3+...+3^{1998}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{1997}+3^{1998}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{1997}\left(1+3\right)\)

\(=4\left(3+3^3+...+3^{1997}\right)⋮2\)

\(S=3+3^2+3^3+...+3^{1998}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{1996}+3^{1997}+3^{1998}\right)\)

\(=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{1996}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=13\left(3+3^4+...+3^{1996}\right)⋮13\).

Mà \(\left(2,13\right)=1\)nên \(S\)chia hết cho \(2.13=26\).

Xét 3 số tự nhiên liên tiếp \(2020^{2021}-1;2020^{2021};2020^{2022}\) luôn có 1 số chia hết cho 3

Mà \(2020\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2020^{2021}\equiv1\left(mod3\right)\)

Khi đó một trong 2 số \(2020^{2021}-1;2020^{2021}+1\) chia hết cho 3

=> đpcm

Lời giải:

Ta có:

\(A=2+2^2+2^3+....+2^9\)

\(A=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+(2^7+2^8+2^9)\)

\(A=2(1+2+2^2)+2^4(1+2+2^2)+2^7(1+2+2^2)\)

\(A=2.7+2^4.7+2^7.7\)

\(A=14(1+2^3+2^6)\Rightarrow A\vdots 14\)

Do đó ta có đpcm.

2 + 2² + 2³ + ... + 2⁸ + 2⁹

=(2+2²+2³)+........+(2⁷+2⁸+2⁹)

=2(1+2+2²)+.....+2⁷(1+2+22)

=2.7+......+2⁷.7

=7(2+...+2⁷)

=7.2(1+....+2⁶)

=14(1+....+2⁶)⋮14(đpcm)

https://hoc247.net/hoi-dap/toan-6/chung-minh-s-1-2-2-2-2-3-2-4-2-5-2-6-2-7-chia-het-cho-3-faq250754.html

S= \(1+2+2^2+...+2^7\)

2S= \(2\cdot\left(2+2^2+...+2^7\right)\)

2S= \(2^1+2^2+...2^8\)

1S= 2S - S = \(\left(2^1+2^2+...2^8\right)-\left(1+2+2^2+...+2^7\right)\)

1S= \(2^1+2^2+...+2^8-1-2-2^2-...-2^7\)

1S= \(2^8-1\)

1S= \(256-1\)

1S= 255

=> 1S chia hết cho 3

Mà 1S= S

=> S chia hết cho 3

Vậy S chia hết cho 3

Đề sai , bạn kiểm tra lại nhé :)

đúng đề mà bạn ??????

1) Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.

=> Gọi n, n+1, n+2( n \(\in\) \(N\)) là 3 số tự nhiên liên tiếp

- Trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn nên:

n.( n+1). ( n+2) \(⋮\)2.

- Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một thừa số \(⋮\) 3.

Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra: n.(n+1).(n+2) \(⋮\) 2 . 3 = 6(đpcm).

2) Chứng tỏ: 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺² chia hêt cho 6.

=> 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺²

= 3ⁿ. 3³ + 3ⁿ . 3 + 2ⁿ . 2³ + 2ⁿ . 2²

= 3ⁿ. (27+3) + 2ⁿ . ( 8+4)

= 6. ( 3ⁿ . 5 + 2ⁿ . 2)

= 6k với k = 3ⁿ . 5 + 2ⁿ⁺¹

Mà 6k \(⋮\) 6 => ( 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹+ 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺²) \(⋮\) 6(đpcm).

3) a) ( 6¹⁰⁰ - 1) \(⋮\) 5

b) 21²⁰ - 11¹⁰ chia hết cho cả 2 và 5

a) ( 6¹⁰⁰ - 1) \(⋮\)5

=> Số 6¹⁰⁰ có chữ số tận cùng là 6.

Nên 6¹⁰⁰ - 1 là số có chữ số tận cùng là 5( 6-1=5)

=> ( 6¹⁰⁰ - 1) \(⋮\)5(đpcm).

b) 21²⁰ - 11¹⁰ chia hết cho cả 2 và 5.

=> Số 21²⁰ có chữ số tận cùng là 1.

Số 11¹⁰ có chữ số tận cùng cũng là 1.

Nên 21²⁰ - 11¹⁰ là số có chữ số tận cùng là 0.

=> 21²⁰ - 11¹⁰ chia hết cho 2 và 5(đpcm).

4) Chứng minh rằng:

a) ( 450+108+180) \(⋮\)9

b) ( 1350 +735+255) \(⋮\)5

c) ( 32624+2016) \(⋮\)4

a) ( 450+108+180) \(⋮\)9

=> Vì 450 \(⋮\) 9; 108 \(⋮\) 9; 180 \(⋮\)9

Nên ( 450+108+180) \(⋮\)9.

b) ( 1350+735+255) \(⋮\)5

=> Vì 1350 \(⋮\) 5; 735 \(⋮\)5; 255 \(⋮\)5

Nên ( 1350+735+255) \(⋮\)5.

c) ( 32624 + 2016) \(⋮\) 4

=> Vì 32624 \(⋮\)4; 2016 \(⋮\)4

Nên ( 32624 + 2016) \(⋮\)4.

Đây là câu trả lời của mình, mình chúc bạn học tốt!

uk

a) C=\(\left(1+3+3^2\right)+....+\left(3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)

=13+.....+3^11 chia het cho 13

nen C=1+3+...+3^11 chia het cho 13

C=\(\left(1+3+3^2+3^3\right)+.....+\left(3^8+3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)=40+....+\(\left(3^8+3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)\(⋮\)40

nên C=\(1+3+3^2+....+3^{11}⋮40\)

\(\left(2^{10}+2^9\right)+\left(2^8+2^7\right)+....+\left(2^2+2\right)\)

\(=2^9.\left(2+1\right)+2^7.\left(2+1\right)+...+2.\left(2+1\right)\)

\(=2^9.3+2^7.3+...+2.3\)

\(=3.\left(2^9+2^7+...+2\right)⋮3\)

P/S: mấy bài khác tương tự

\(a,2^{10}+2^9+2^8+...+2\)

\(=\left(2^{10}+2^9\right)+\left(2^8+2^7\right)+...+\left(2^2+2\right)\)

\(=2^9\left(2+1\right)+2^7\left(2+1\right)+...+2\left(2+1\right)\)

\(=2^9.3+2^7.3+...+2.3\)

\(=3\left(2^9+2^7+...+2\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

\(b,1+3+3^2+3^3+...+3^{99}\)

\(=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{98}+3^{99}\right)\)

\(=4+3^2\left(1+3\right)+...+3^{98}\left(1+3\right)\)

\(=4+3^2.4+...+3^{98}.4\)

\(=4\left(1+3^2+...+3^{98}\right)⋮4\left(đpcm\right)\)

\(c,1+5+5^2+5^3+...+5^{1975}\)

\(=\left(1+5\right)+\left(5^2+5^3\right)+...+\left(5^{1974}+5^{1975}\right)\)

\(=6+5^2\left(1+5\right)+...+5^{1974}\left(1+5\right)\)

\(=6+5^2.6+...+5^{1974}.6\)

\(=6\left(1+5^2+...+5^{1974}\right)⋮6\left(đpcm\right)\)