a: xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

b: Xét ΔCAB vuông tại C có \(cosBAC=\frac{AC}{AB}=\frac12\)

nên \(\hat{BAC}=60^0\)

ΔACB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(CB^2=AB^2-AC^2=\left(2R\right)^2-R^2=4R^2-R^2=3R^2\)

=>\(CB=R\sqrt3\)

c: Xét (O) có

MC,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MB

=>M nằm trên đường trung trực của CB(1)

ta có: OC=OB

=>O nằm trên đường trung trực của CB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của CB

=>MO⊥CB

mà CA⊥CB

nên CA//OM

d: Gọi I là giao điểm của MA và CH, K là giao điểm của AC và MB

ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB tại C

=>CB⊥AK tại C

=>ΔKCB vuông tại C

Ta có: \(\hat{MCB}+\hat{MCK}=\hat{KCB}=90^0\)

\(\hat{MBC}+\hat{MKC}=90^0\) (ΔKCB vuông tại C)

mà \(\hat{MBC}=\hat{MCB}\) (ΔMBC cân tại M)

nên \(\hat{MCK}=\hat{MKC}\)

=>MC=MK

mà MC=MB

nên MB=MK(3)

ta có: KB⊥BA

CH⊥BA

DO đó: KB//CH

Xét ΔAMK có CI//MK

nên \(\frac{CI}{MK}=\frac{AI}{AM}\left(4\right)\)

Xét ΔAMB có IH//MB

nên \(\frac{IH}{MB}=\frac{AI}{AM}\) (5)

từ (3),(4),(5) suy ra CI=IH

=>I là trung điểm của CH

=>MA đi qua trung điểm I của CH

Tk

a)AD tính chất 2 tiếp tuyến  cắt nhau

b)BC=2*căn(R1*R2)

A B C I O O'

1/ Ta có

IB=IA=IC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì kc từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau

=> tg IAB và tg IAC cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\) và \(\widehat{ICA}=\widehat{IAC}\)

Xét tg IAB có \(\widehat{AIB}=180^o-\left(\widehat{IBA}+\widehat{IAB}\right)=180^o-2.\widehat{IAB}\) (1)

Xét tg IAC có \(\widehat{AIC}=180^o-\left(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}\right)=180^o-2.\widehat{IAC}\) (2)

Công 2 vế của (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=360^o-2\left(\widehat{IAB}+\widehat{IAC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=180^o=360^o-2\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{BAC}=90^o\) => tg ABC vuông tại A

2/

Ta có

tg AIB cân tại I (cmt)

\(OI\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối hai tiếp điểm)

=> IO là phân giác của \(\widehat{AIB}\Rightarrow\widehat{AIO}=\widehat{BIO}=\frac{\widehat{AIB}}{2}\) (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường phân giác)

C/m tương tự ta cũng có \(\widehat{AIO'}=\widehat{CIO'}=\frac{\widehat{AIC}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIO}+\widehat{AIO'}=\widehat{OIO'}=\frac{\widehat{AIB}+\widehat{AIC}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\) => tg OIO' vuông tại I

3/

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì đường nối tâm hai đường tròn đi qua điểm tiếp xúc => O, A, O' thẳng hàng

Xét tg vuông OIO' có

\(IA^2=OA.O'A\) (trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) \(\Rightarrow IA=\sqrt{OA.OA'}=\sqrt{R.R'}\)

Ta có IB=IA=IC (cmt) => \(IA=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2.IA=2\sqrt{R.R'}\)