Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 28:
a; Xét tứ giác BCOD có \(\hat{BCO}+\hat{BDO}=90^0+90^0=180^0\)
nên BCOD là tứ giác nội tiếp
=>B,C,O,D cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
BC,BD là các tiếp tuyến
Do đó: BC=BD và OB là phân giác của góc COD và BO là phân giác của góc CBD
ΔOCD cân tại O
mà OB là đường phân giác
nên OB⊥CD tại E
Xét ΔOEF vuông tại E và ΔOAB vuông tại A có
\(\hat{EOF}\) chung
Do đó; ΔOEF~ΔOAB
=>\(\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}\)
=>\(OE\cdot OB=OF\cdot OA\)
c: Ta có: \(\hat{BCI}+\hat{OCI}=\hat{BCO}=90^0\)
\(\hat{ECI}+\hat{OIC}=90^0\) (ΔEIC vuông tại E)
mà \(\hat{OCI}=\hat{OIC}\) (ΔOCI cân tại O)
nên \(\hat{BCI}=\hat{ECI}\)
=>CI là phân giác của góc BCE
Xét ΔCBD có
CI,BO là các đường phân giác
CI cắt BO tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔCBD
=>I cách đều ba cạnh của ΔCBD
A B C O D E S F N M I
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
A B C H D O E F K G I
Đặt G là trung điểm HC, DG cắt HE tại I.
Dễ thấy \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)CHD (g.g) với trung tuyến tương ứng BK,DG. Suy ra \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)DHG (c.g.c)
Suy ra ^HBK = ^HDG = ^HDI (1)
Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)GCD và 3 điểm E,I,H có \(\frac{ED}{EC}.\frac{IG}{ID}.\frac{HC}{HG}=1\)
Bởi vì \(\frac{ED}{EC}=\frac{1}{2};\frac{HC}{HG}=2\)nên \(\frac{IG}{ID}=1\)hay I là trung điểm GD
Ta thấy \(\Delta\)DGH vuông tại H có trung tuyến HI nên ^HDI = ^DHI (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ^HBK = ^DHI = ^FHK. Chú ý rằng HK là tiếp tuyến của (BH)
Do đó ^HBK = ^FHK = ^HBF. Mà F,K cùng phía so với HB nên tia BF trùng tia BK
Vậy ba điểm B,F,K thẳng hàng (đpcm).