a: Sửa đề: CD=2AB=2AD

Ta có: \(AB=AD=\frac{CD}{2}\)

\(DM=MC=\frac{DC}{2}\)

Do đó: AB=AD=DM=MC

Xét tứ giác ABMD có

AB//MD

AB=MD

Do đó: ABMD là hình bình hành

Hình bình hành ABMD có AB=AD và \(\hat{BAD}=90^0\)

nên ABMD là hình vuông

b: Ta có: MN⊥HC

DH⊥HC

Do đó: MN//DH

Xét ΔHDC có

M là trung điểm của CD
MN//DH

Do đó: N là trung điểm của CH

Xét ΔHDC có

M,N lần lượt là trung điểm của CD,CH

=>MN là đường trung bình của ΔHDC

=>MN//DH và \(MN=\frac{DH}{2}=DP=PH\)

Xét tứ giác MNPD có

MN//PD

MN=PD

Do đó: MNPD là hình bình hành

c: Xét ΔHDC có

P,N lần lượt là trung điểm của HD,HC

=>PN là đường trung bình của ΔHDC

=>PN//DC

mà DC⊥ AD

nên PN⊥AD

Xét ΔADN có

NP,DH là các đường cao

NP cắt DH tại P

Do đó: P là trực tâm của ΔADN

=>AP⊥DN

a: Ta có; \(BE=EC=\frac{BC}{2}\)

\(FA=FD=\frac{AD}{2}\)

\(BA=CD=\frac{BC}{2}\)

mà BC=AD
nên BE=EC=FA=FD=BA=CD

Xét tứ giác ECDF có

EC//DF

EC=DF

DO đó: ECDF là hình bình hành

Hình bình hành ECDF có EC=CD
nên ECDF là hình thoi

b: BC//AD
=>BE//AD
=>ABED là hình thang

c: ECDF là hình thoi

=>EF=FD=AD/2

Xét ΔEAD có

EF là đường trung tuyến

\(EF=\frac{AD}{2}\)

Do đó: ΔEAD vuông tại E

=>\(\hat{AED}=90^0\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{HA}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{AFE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên DA=DC

=>ΔDAC cân tại D

=>\(\hat{DAC}=\hat{DCA}\)

\(\hat{DAC}+\hat{AFE}=\hat{ACB}+\hat{ABC}=90^0\)

=>AD⊥EF

c: Gọi O là giao điểm của AH và EF

AEHF là hình chữ nhật

=>AH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và EF

AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF
mà \(OA=OH=\frac{AH}{2};OE=OF=\frac{EF}{2}\)

nên OA=OH=OE=OF

ΔHEB vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên EM=EH=EB

ΔHFC vuông tại F

mà FN là đường trung tuyến

nen NF=NH=NC

Xét ΔOHM và ΔOEM có

OH=OE

HM=EM

OM chung

Do đó: ΔOHM=ΔOEM

=>\(\hat{OHM}=\hat{OEM}\)

=>\(\hat{OEM}=90^0\)

=>ME⊥ EF tại E

Xét ΔNFO và ΔNHO có

NF=NH

FO=HO

NO chung

Do đó: ΔNFO=ΔNHO

=>\(\hat{NFO}=\hat{NHO}=90^0\)

=>NF⊥ FE tại F

mà ME⊥ EF
nên NF//ME

=>MEFN là hình thang

Hình thang MEFN có ME⊥ EF

nên MEFN là hình thang vuông

d: MEFN là hình thang vuông

=>\(S_{MEFN}=\frac12\cdot\left(ME+FN\right)\cdot FE\)

\(=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12HB+\frac12HC\right)=\frac14\cdot AH\cdot BC=\frac14\cdot AB\cdot AC=\frac14\cdot6\cdot8=\frac{48}{4}=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ABCD là HBH => AB = CD 

tg BEFD có : BE = DF ( cùng = 1/2 hai cạnh Ab và CD )

                     BE // DF  ( AB // CD)

=> BEFD là HBH 

b, TG AEFD có AE = DF ( cùng bằng  1/2 hai cạnh bằng nhau )

                         AE // BF ( AB // CD)

=> EFD là HBH