\(y=\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)x^3-\left(m-1\right)x^2+\left(m+3\right)x-2\)

\(y'=\)\(x^2\left(m-1\right)-2x\left(m-1\right)+m+3\)

a)\(y'=0\)\(\Leftrightarrow x^2\left(m-1\right)-2x\left(m-1\right)+m+3=0\)

Xét m=1 => pt tt: 3=0 (vô lí)

=> \(m\ne1\)

Để y'=0 có hai nghiệm pb cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-16m+16>0\\\dfrac{m+3}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m< -3\)

b)y'=0 có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow m\le-3\)

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Có x₁²+x₂²=4

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(4-\dfrac{2\left(m+3\right)}{m-1}=4\)

\(\Leftrightarrow m=-3\) (tm)

Vậy m=-3

(đúng không ạ?)

a: \(y=\frac13\left(m-1\right)\cdot x^3-\left(m-1\right)\cdot x^2+\left(m-3\right)x+2\)

=>y'=\(\frac13\left(m-1\right)\cdot3x^2-\left(m-1\right)\cdot2x+\left(m-3\right)\)

\(=\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3\)

Đặt y'=0

=>\(\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3=0\) (1)

TH1: m=1

(1) sẽ trở thành:

\(\left(1-1\right)\cdot x^2-\left(2\cdot1-2\right)x+1-3=0\)

=>-2=0(vô lý)

=>Phương trình vô nghiệm

TH2: m<>1

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4\left(m^2-4m+3\right)=4m^2-8m+4-4m^2+16m-12=8m-8\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m-1}\)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì 8m-8>0

=>m>1

Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>8m-8>0 và (m-3)/(m-1)>0

=>m>1 và (m>3 hoặc m<1)

=>m>3

b: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì (m-1)(m-3)<0

=>1<m<3

c: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2\)

=>\(2^2-4\cdot\frac{m-3}{m-1}=2\)

=>\(4\cdot\frac{m-3}{m-1}=4-2=2\)

=>4(m-3)=2(m-1)

=>2(m-3)=m-1

=>2m-6=m-1

=>2m-m=-1+6

=>m=5(nhận)

d: Để y'>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>8m-8<=0 và m-1>0

=>8m<=8 và m>1

=>m∈∅

e: Để y'<=0 với mọi x thì Δ<=0 và a<0

=>8m-8<=0 và m-1<0

=>m<1

a: \(y=\frac13\left(m-1\right)\cdot x^3-\left(m-1\right)\cdot x^2+\left(m-3\right)x+2\)

=>y'=\(\frac13\left(m-1\right)\cdot3x^2-\left(m-1\right)\cdot2x+\left(m-3\right)\)

\(=\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3\)

Đặt y'=0

=>\(\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3=0\) (1)

TH1: m=1

(1) sẽ trở thành:

\(\left(1-1\right)\cdot x^2-\left(2\cdot1-2\right)x+1-3=0\)

=>-2=0(vô lý)

=>Phương trình vô nghiệm

TH2: m<>1

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4\left(m^2-4m+3\right)=4m^2-8m+4-4m^2+16m-12=8m-8\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m-1}\)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì 8m-8>0

=>m>1

Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>8m-8>0 và (m-3)/(m-1)>0

=>m>1 và (m>3 hoặc m<1)

=>m>3

b: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì (m-1)(m-3)<0

=>1<m<3

c: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2\)

=>\(2^2-4\cdot\frac{m-3}{m-1}=2\)

=>\(4\cdot\frac{m-3}{m-1}=4-2=2\)

=>4(m-3)=2(m-1)

=>2(m-3)=m-1

=>2m-6=m-1

=>2m-m=-1+6

=>m=5(nhận)

d: Để y'>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>8m-8<=0 và m-1>0

=>8m<=8 và m>1

=>m∈∅

e: Để y'<=0 với mọi x thì Δ<=0 và a<0

=>8m-8<=0 và m-1<0

=>m<1

Chọn B

Vì ba nghiêm phân biệt x 1 , x 2 , x 3  lập thành một cấp số cộng nên ta đặt :  x 1 = x 0 + d , x 2 = x 0 , x 3 = x 0 + d   ( d ≠ 0 )

Theo giả thuyết Ta có: x3+3x2 – (24+m)x – 26- n= (x – x1)(x-x2)(x-x3)

=(x-xo+d)(x-xo)(x-xo-d)= x3 – 3xox2+ (3xo2-d2)x-xo3+ xod2 với mọi x

Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành một cấp số cộng

\(x^3-3\left(m+1\right)x^2+2mx+m+2=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-3mx-2x-m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^2-x\left(3m+2\right)-m-2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-x\left(3m+2\right)-m-2=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)có\) \(3ngo\)  \(phân\) \(biệt\Leftrightarrow\left(2\right)\) \(có\) \(2\) \(ngo\) \(phân\) \(biệt\ne1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(1\right)\ne0\\\Delta>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{-3}{4}\\\left(3m+2\right)^2-4\left(-m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{-3}{4}\\9m^2+16m+12>0\left(luôn-đúng\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\ne\dfrac{-3}{4}\) \(thì\left(1\right)\) \(có\) \(3ngo\) \(phân\) \(biệt\)

\(do\left(2\right)\) \(\) \(có\) \(2\) \(ngo\) \(phân\) \(biệt\ne1\Rightarrow x3=1\)

\(\Rightarrow x1+x2=2\)

\(vi-ét\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=3m+2\\x1x2=-m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3m+2=2\Leftrightarrow m=0\left(tm\right)\)

Chọn C.

- Ta có:

- Do đó:

 (1)

- Suy ra, không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Chọn D.

Đáp án D

   m > 1 m + 2 2 + 2 ( m − 1 ) . ( m + 2 ) =    ( m + 2 ) .3 m ≤ 0 ⇔ m > ​ 1 − 2    ≤ m    ≤ 0   ⇔ ∃    m

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn