Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài thiếu điều kiện rồi :")))
thêm điều kiện đi rồi giải cho
Áp dụng B.C.S ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự cộng lại ta có dpcm.
Dấu = khi x=y=z=1
Ta có \(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)(BĐT buniacoxki)
=>\(VT\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yx}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}}\)
=> \(VT\le\frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
\(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(xy+xz+yz\right)x+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)\left(\sqrt{z}^2+\sqrt{x}^2\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\right)^2}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
(*) Xét BĐT \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\) với a ; b; c ;d > 0
BĐT <=> \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)\ge ac+bd+2\sqrt{abcd}\)
<=> \(ad-2\sqrt{abcd}+bc\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge0\)
Dễ thấy BĐT cuối luôn đúng
Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi ad = bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
(*) ÁP dụng BĐT ta có
\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi x/y = z/x
(*) CMTT với hai cái còn lại
Cộng Ba vế BĐT ta đc ĐPCM
Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi x = y = z = 1
ta có 3x + yz = x2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)
do đó:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)
= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm
Áp dụng bđt phụ \(\sqrt{ \left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)có
\(VT=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{zy}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{z}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Ta có: \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow x^2=yz\))
Theo đề: x + y + z = 3\(\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)
Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\);\(\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên,ta được:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)\(+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)\(+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
We have:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}}{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+1}\)
Dat \(\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}};\frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\right)=\left(a;b;c\right)\)
Consider:
\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\)
Now we need to prove:
\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1}\ge2\left(M\right)\)
\(VT_M\ge\frac{9}{a+b+c+3}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}+3}=2\)
Sign '=' happen when \(\hept{\begin{cases}x=y=z=1\\a=b=c=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
với \(x+y+z=3\Rightarrow3x=x\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz\Rightarrow3x+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
tương tự mấy cái kia nhé
Áp dụng bđt bu nhi a ta có \(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)
=> \(x+\sqrt{3x+yz}\ge x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
tương tự mấy cái kia rồi cộng vào ta có
\(A\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (ĐPCM)
bằng 1
=1
kb với mk đi nào
=1
h mình nhé
học tốt
Đáp án : 1
= 1 nhé
Mk chỉ mới hc l 8 nên ko
dấu '=' xảu ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{y}\)=\(\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\)x=y=z
\(3x+yz=x^2+xy+xz+yz\)
\(=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=x\frac{1}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le x\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)\(=\frac{1}{4}+\frac{x}{4\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\sqrt{\frac{x}{x+y}}.\sqrt{\frac{x}{x+z}}\)
\(\le\frac{1}{4}+\frac{1}{8}.\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
tương tự cộng tương ứng sẽ triệt tiêu dược các ẩn và tìm ra \(P\le1\)khi \(x=y=z=1\)
HỌC TỐT :)
Cách khác :3
Ta có:\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(x-\sqrt{3x+yz}\right)}{x^2-\left[x\left(x+y+z\right)+yz\right]}=\frac{x\left[\sqrt{3x+yz}-x\right]}{xy+yz+zx}\)
Mà theo AM - GM dễ có: \(x\left[\sqrt{3x+yz}-x\right]=x\left[\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}-x\right]\le x\left(\frac{x+z+x+y}{2}-x\right)=\frac{xz+yz}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{xz+yz}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1
Chém gió tí:3
\(\sqrt{ab}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{ab}}}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(3x+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(VT=\Sigma\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma\frac{x}{x+\frac{2}{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}}}\le1\)
Quy đồng full lên cần chứng minh
\(\Sigma\left(x^2y^2+8xy^2z+4xyz^2+8xz^3+3z^4\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
Done.
Gáy tiếp 2 cách nữa:
\(x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge2x+\sqrt{yz}\)
Tương tự và ta cần chứng minh:
\(\Sigma\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le1\Leftrightarrow\Sigma\frac{2x}{2x+\sqrt{yz}}\le2\Leftrightarrow\Sigma\frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}}\ge1\Leftrightarrow\Sigma\frac{yz}{2x\sqrt{yz}+yz}\ge1\)
Mà theo AM - GM: \(\frac{yz}{2x\sqrt{yz}+yz}\ge\frac{yz}{x\left(y+z\right)+yz}=\frac{yz}{xy+yz+zx}\Rightarrowđpcm\)
Cách 4:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\le\frac{1}{9}\left[1+\frac{4x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\right]\)( Cauchy Schwarz )
\(\frac{4x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\le\frac{2x}{x+z}+\frac{2x}{x+y}\) ( AM - GM )
\(LHS\le\frac{1}{9}\left[3+\Sigma\left(\frac{2x}{x+z}+\frac{2z}{x+z}\right)\right]=1\)
Vậy ta có đpcm
BĐT mạnh hơn :3
Với a,b,c,k là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{kx+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{ky+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{kz+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{3}{k+2}\)