Theo đề ra : x,y,z>0

Nên áp dụng BĐT cô si cho 3 số là 1;1 và x+3y ta được :

\(x+3y+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\le\frac{x+3y+1+1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+3y}\le\frac{x+3y+2}{3}\)(1)

Tương tự ta cũng có được :

\(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{y+3z+2}{3}\) (2) \(\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{z+3x+2}{3}\)(3)

Ta cộng vế theo vế của (1) ; (2) và (3) ta được: \(\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{x+y+z+3\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{\frac{3}{4}+3.\frac{3}{4}+6}{3}=3\)

Vậy GTLN của P là 3 khi x=y=z=\(\frac{1}{4}\)

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

Vì \(0\le x,y,z\le1\)

\(\Rightarrow xy\le y\)

\(x^2\le1\)

\(\Rightarrow x^2+xy+xz\le xz+y+1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)\le1+y+xz\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{1}{x+y+z}\)

CMTT : các vế khác cug vậy

cộng các vế vào là đc

\(0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\)

\(\Rightarrow xy+1\ge x+y\)

Tương tự ta chứng minh được \(xz+1\ge x+z\)và \(yz+1\ge y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(x\le1\))

\(\Rightarrow\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(y\le1\))

\(\Rightarrow\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)\(z\le1\))

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)(đpcm)

Do \(0\le x,y,z\le1\)\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2;z\ge z^2\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow xz-x-z+1\ge0\Rightarrow xz+y+1\ge x+y+z\ge x^2+y^2+z^2\) 

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{x}{x^2+y^2+z^2}\) 

Tương tự rồi cộng từng vế, ta có:  

\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{3}{x+y+z}\) 

=> ĐPCM 

Bài 4:

Đặt: \(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+15bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+15ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+15ab}}\)

Và: \(B=a\left(a^2+15bc\right)+b\left(b^2+15ca\right)+c\left(c^2+15ab\right)\)

Áp dụng BĐT Holder ta có:

\(A^2.B\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow A^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+45abc}\)

Ta chứng minh được: \(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+45abc}\ge\frac{9}{16}\)

\(\Leftrightarrow16\left[a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]\ge9\left(a^3+b^3+c^3+45abc\right)\)

\(\Leftrightarrow7\left(a^3+b^3+c^3\right)+48\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge405abc\)

\(\text{Vế trái}\) \(\ge21abc+384abc\)

\(\Rightarrow\) \(\text{Vế trái}\) \(\ge3abc\left(7+16.8\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\text{Vế trái}\) \(\ge9abc.45\)

\(\Rightarrow\) \(​​​\text{Đpcm}\)

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)

Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);

\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)

\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)

\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);

\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);

\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz

Ta có : 

\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)

                                                                                                                   \(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra 

\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z 

Nguồn : Đinh Đức Hùng