Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Qui đồng lên ta có: (cần chứng minh)
\(2\sum\left(x^2+1\right)^2\left(z^2+1\right)\le7\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sum\left(x^4z^2+x^4+2x^2z^2+2x^2+z^2+1\right)\le7\left(x^2y^2z^2+\sum x^2+\sum x^2y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sum x^4+2\sum x^4z^2\le7x^2y^2z^2+3\sum x^2z^2+\sum x^2+1\)
Hay \(\left(\sum x^2+x+y+z-2\sum x^4\right)+7x^2y^2z^2+3\sum x^2z^2-2\sum x^4z^2\ge0\)
hay \(\sum x^2\left(1-x^2\right)+\sum x\left(1-x^3\right)+7x^2y^2z^2+\sum x^2z^2+2\sum x^2z^2\left(1-x^2\right)\ge0\)
(luôn đúng do x, y, z\(\in\left[0;1\right]\))
Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1.
WLOG \(x\ge y \ge z\)
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:
\(VT=\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+xz^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\le\dfrac{21+xy^2+yz^2+xz^2}{xy+yz+xz+4}\)\(\le\dfrac{21+x^2y+xyz+yz^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)
\(\le\dfrac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)\(\le\dfrac{21+\dfrac{\left(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)
\(=\dfrac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=\dfrac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=VP\)
Dấu "=" khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và h.vị
Đề bài sai, phản ví dụ: \(x=y=\dfrac{1}{16};z=256\)
Nói chung, chỉ cần 2 biến đủ nhỏ là BĐT này đều sai
x+y+z=1
=>y+z=1-x; x+z=1-y; x+y=1-z
\(\frac{1+x}{1-x} = \frac{(x+y+z) + x}{y+z} = \frac{2x + y + z}{y+z} = \frac{2x}{y+z} + 1\)
\(\frac{1+y}{1-y}=\frac{2y}{x+z}+1;\frac{1+z}{1-z}=\frac{2z}{x+y}+1\)
Do đó: \(\text{VT} = 2 \left( \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \right) + 3\)
\(VP=\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\)
\(=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
VT<=VP
=>\(2 \left( \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \right) + 3 \le 2 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right)\)
=>\(\left(\frac{2x}{y}-\frac{2x}{y+z}\right)+\left(\frac{2y}{z}-\frac{2y}{x+z}\right)+\left(\frac{2z}{x}-\frac{2z}{x+y}\right)\ge3\)
=>\(2x \cdot \frac{z}{y(y+z)} + 2y \cdot \frac{x}{z(x+z)} + 2z \cdot \frac{y}{x(x+y)} \ge 3\)
=>\(\frac{xz}{y(y+z)}+\frac{xy}{z(x+z)}+\frac{yz}{x(x+y)}\ge\frac{3}{2}\quad(*)\)
Đặt \(T=\frac{xz}{y(y+z)}+\frac{xy}{z(x+z)}+\frac{yz}{x(x+y)}\)
\(=\frac{(xz)^2}{xyz(y+z)}+\frac{(xy)^2}{xyz(x+z)}+\frac{(yz)^2}{xyz(x+y)}\)
Theo BĐT Cauchy, ta có:
\(T \ge \frac{(xy + yz + zx)^2}{xyz(y+z) + xyz(x+z) + xyz(x+y)} = \frac{(xy + yz + zx)^2}{2xyz(x+y+z)}\)
mà \(\left(xy+yz+xz\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
nên \(T \ge \frac{3xyz(x+y+z)}{2xyz(x+y+z)} = \frac{3}{2}\) (ĐPCM)