a)Ta có: ab+ac+bc=-7                        (ab+ac+bc)^2=49

nên

(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=49

nên a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2−2(ab)^2−2(ac)^2−2(bc^)2=98

b) (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)= 
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=> 
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+ 
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+ 
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+ 
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=> 
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+ 
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*) 
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2; 
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2 
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm 
Từ (*) ta có A+B+C=0 
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0 
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0 
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0 
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0 
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.

\(x+y+z=0< =>x+y=-z=>\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2.\)

\(< =>x^2+2xy+y^2=z^2< =>x^2+y^2-z^2=-2xy\)

\(< =>\left(x^2+y^2-z^2\right)=\left(-2xy\right)^2\)

\(< =>x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2=4x^2y^2\)

\(< =>x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)

\(< =>2\left(x^4+y^4+z^4\right)=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2.\)

\(< =>x^4+y^4+z^4=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=\frac{a^4}{2}\)

Vậy \(x^4+y^4+z^4=\frac{a^4}{2}\)

chệu nghe

Lấy điểm O trong ΔABC sao cho \(\hat{AOB}=\hat{BOC}=\hat{AOC}=120^0\)

Đặt OA=x; OB=y; OC=z

Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)

=>\(x^2+y^2-AB^2=2\cdot x\cdot y\cdot\frac{-1}{2}=-xy\)

=>\(AB^2=x^2+y^2+xy=1\)

=>AB=1

Xét ΔOAC có \(cosAOC=\frac{OA^2+OC^2-AC^2}{2\cdot OA\cdot OC}\)

=>\(x^2+z^2-AC^2=2\cdot x\cdot z\cdot cos120=-xz\)

=>\(AC^2=x^2+z^2+xz=\frac34\)

=>\(AC=\frac{\sqrt3}{2}\)

Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)

=>\(\frac{y^2+z^2-BC^2}{2\cdot y\cdot z}=cos120=-\frac12\)

=>\(y^2+z^2-BC^2=-yz\)

=>\(BC^2=y^2+z^2+yz=\frac14\)

=> BC=1/2

Vì \(CA^2+CB^2=AB^2\)

nên ΔCAB vuông tại C

=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}\)

\(S_{ABC} = \frac{1}{2}xy\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}yz\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}xz\sin(120^\circ)\)

=>\(S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}(xy + yz + xz)\)

=>\(\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+xz)=\frac{\sqrt{3}}{8}\)

=>\(xy+yz+xz=\frac{1}{2}\)

\((x^2 + xy + y^2) + (y^2 + yz + z^2) + (x^2 + xz + z^2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\)

=>\(2(x^2 + y^2 + z^2) + (xy + yz + xz) = 2\)

=>\(2(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=2\)

=>\(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{4}\)

\((x + y + z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + xz)\)

\(=\frac34+2\cdot\frac12=\frac74\)

=>\(x+y+z=\frac{\sqrt7}{2}\)

=>\(B=\frac{\sqrt7}{2}\)