Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
sửa đề CM biểu thức \(\le\frac{3}{16}\)
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
bình phương hai vế:
\(\frac{1}{2x+y+z)^2}=\frac{1}{16^2}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
áp dụng bđt phụ: \(\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2\le4\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)\)
áp dụng cho cụm \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
=> \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\le4\left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
=> \(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}\le\frac{1}{64}\left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
áp dụng tương tự:
=> \(\frac{1}{\left(2y+x+z\right)}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(\frac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}\right)\)
cộng cả ba biêu thức trên
=> \(VT\le\frac{1}{64}\left\lbrace\left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}\right)\right\rbrace\) \(VT\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{4}{z^2}\right)\)
\(VT\le\frac{4}{64}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\)
=> \(VT\le\frac{1}{16\cdot3}=\frac{3}{16}\)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\Rightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y+z-z}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{zx+zy+z^2+xy}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left[z\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)\(\Rightarrow\)\(x=-y\) hoặc \(y=-z\) hoặc \(z=-x\)
\(\Rightarrow A=0\)
Áp dụng bđt côsi cho 2 số dương lần lượt ta có :
\(1+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)
\(1+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
\(1+\frac{x}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\)
Nhân vế theo vế ta đc : \(\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\ge8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}=8\)
Dấu = xảy ra khi : \(1=\frac{y}{x}\)=> x=y và \(1=\frac{z}{y}\) => z=y và \(1=\frac{x}{z}\) => x=z
=> x=y=z
Thay vào M ta được : \(M=\frac{x^2}{2x^2}+\frac{y^2}{2y^2}+\frac{z^2}{2z^2}=\frac{3}{2}\).