Dự đoán xảy ra cực trị tại y = 2 và x = 1

Ta biến đổi nhưng sau: \(P=\left(8x^3+8+8\right)+\left(y^3+8+8\right)-32\)

\(\ge3\sqrt[3]{8x^3.8.8}+3\sqrt[3]{y^3.8.8}-32\)

\(=24x+12y-32=12\left(2x+y-\frac{8}{3}\right)\)

\(=12\left(6-\frac{8}{3}-xy\right)=12\left(\frac{10}{3}-xy\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-1x.2y\right)\ge12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left(x+1\right)^2}{4}.\frac{\left(y+2\right)^2}{4}\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left[\left(x+1\right)\left(y+2\right)\right]^2}{4}\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{xy+2x+y+2}{4}\right)=12\left(\frac{10}{3}-\frac{6+2}{4}\right)=16\)

Vậy P min = 16 khi x = 1;y=2

Chết mọe,nhầm cmnr=(((

\(x(3 - xy - xz) + y + 6z \le 5xz(y + z) \quad (1)\)

=>\(3x - x^2 y - x^2 z + y + 6z \le 5xyz + 5xz^2\)

=>\(3x+y+6z\le x^2y+x^2z+5xyz+5xz^2\)

=>\(3x+y+6z\le x^2(y+z)+5xz(y+z)\)

=>\(3x+y+6z\le x(y+z)(x+5z)\quad(2)\)

P=3x+y+6z

=>P<=x(y+z)(x+5z)

y+6z=P-3x

=>y+z=(P-3x)-5z

(2)=>\(P \le x(P - 3x - 5z)(x + 5z)\)

Theo AM-GM, ta có: \((P - 3x - 5z)(x + 5z) \le \left[ \frac{(P - 3x - 5z) + (x + 5z)}{2} \right]^2 = \left( \frac{P - 2x}{2} \right)^2\)

=>\(P \le x \cdot \left( \frac{P - 2x}{2} \right)^2 = \frac{x(P - 2x)^2}{4}\)

=>\(4P\le x(P^2-4Px+4x^2)\)

=>\(4P\le P^2x-4Px^2+4x^3\)

=>\(P^2x-4Px^2-4P+4x^3\ge0\)

=>\(P^2 - 4P \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4x^2 \ge 0 \quad (3)\)

Theo Cosi, ta có: \(x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\)

=>\(-4P\left(x + \frac{1}{x}\right) \le -4P \cdot 2 = -8P\)

(3)=>\(P^2 - 8P + 4x^2 \ge P^2 - 4P \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4x^2 \ge 0\)

Chọn điểm rơi x=1, ta sẽ có phương trình: \(P^2 - 8P + 4 \ge 0\)

=>\(P^2-8P+16\ge12\)

=>\(\left(P-4\right)^2\ge12\)

=>\(P-4\ge2\sqrt3\)

=>\(P\ge4+2\sqrt3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{1}{x};P-3x-5z=x+5z\) và y=P-3x-6z

=>x=1; P-4x=10z và y=P-3x-6z

=>x=1; \(10z=(4+2\sqrt{3})-4=2\sqrt{3}\) và y=P-3x-6z

=>x=1; \(z=\frac{\sqrt{3}}{5}\) và y=P-3x-6z

=>\(x=1;y=1+\frac{4\sqrt{3}}{5};z=\frac{\sqrt{3}}{5}\)

Áp dụng BĐT cosi cho 3 số x;y;z dương

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{y^2z^2}}=\dfrac{2x}{z}\\ \dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{x^2z^2}}=\dfrac{2y}{z}\\ \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{x^2y^2}}=\dfrac{2z}{y}\)

Cộng vế theo vế 

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)

\(\LeftrightarrowĐpcm\)

Cám ơn thầy ạ, tuy nhiên hình như là có sự nhầm lẫn rồi thầy ạ, bài này thầy xem lại  đề bài giúp em với ạ

1 mặt trời được hình thành từ lava và thiên thạch

2 muốn bt mặt trời nặng bao nhiêu thì mẹ hãy cho con bt cân nặng của trái đất và con người

3 có hoặc ko

4 có số miệng núi lửa bằng số cây trên trái đất

5 vì áp suất của ngoài vũ trụ chỉ cho phép toàn bộ hình tròn

6 có vì các điều đó  đều là sự thật

7 trái đất được tạo từ thiên thạch

8 vì trái đất là một hành tinh đặc bt như mẹ vậy

9 vậy con người hãy ngừng hoạt động các nhà máy

10 vì thiên nhiên giúp ta có thể sống , thở,....

mọi người có lắng nghe được vì mọi tiếng ồn của tự nhiên đều là lời nói của thiên nhiên

Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)

Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)

Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)

Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng

Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng

Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)