Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x+y+z=12\), với \(x,y,z>0\).
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất:
\(M=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(M=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle M\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)
Tuy nhiên, cách đánh giá trên chưa thuận lợi. Ta dùng bất đẳng thức AM-GM:
\(\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x y z}{\sqrt{xyz}}}\)
\(M\ge 3\sqrt[6]{xyz}\).
Vì \(x+y+z=12\), theo AM-GM:
\(xyz\le \left(\dfrac{12}{3}\right)^3=64\).
Do đó chưa thể suy ra giá trị nhỏ nhất từ bất đẳng thức này.
Dấu bằng dự kiến khi \(x=y=z=4\), khi đó:
\(M=\dfrac{4}{2}+\dfrac{4}{2}+\dfrac{4}{2}=6\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(6\), đạt được khi \(x=y=z=4\).
bài này có lập được bảng biến thiên, nhưng chắc chưa học nên làm cách cơ bản
ta có \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le\frac{x^2}{2x\sqrt{yz+1}+x}=\frac{x}{2\sqrt{yz+1}+1}\) dấu "=" xảy ra khi x2=yz+1
ta lại có \(2=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^3-2x\left(y+z\right)-2yz\ge\left(x+y+z\right)^3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}-2yz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le4\left(1+yz\right)\Rightarrow x+y+z\le2\sqrt{1+yz}\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{x+y+z+1}=1-\frac{x+1}{x+y+z+1}\le1-\frac{x+1}{2\sqrt{yz+1}+1}\)
do đó \(P\le\frac{x}{2\sqrt{yz+1}+1}+1-\frac{x+1}{2\sqrt{yz+1}+1}-\frac{1+yz}{9}=1-\frac{1}{2\sqrt{yz+1}+1}-\frac{1+yz}{9}\)
\(\le1-\frac{1}{yz+1+1+1}-\frac{1+yz}{9}=\frac{11}{9}-\left(\frac{1}{yz+3}+\frac{yz+3}{9}\right)\le\frac{11}{9}-\frac{2}{3}=\frac{5}{9}\)
dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=1;y=1;z=0\\x=1;y=0;z=1\end{cases}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)
Ta có:
\(\sqrt{x^2+y^2}\leq x+y\)
\(\sqrt{y^2+z^2}\leq y+z\)
\(\sqrt{z^2+x^2}\leq z+x\)
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:
\(2015\leq 2(x+y+z)\)
Suy ra:
\(x+y+z\geq \dfrac{2015}{2}\) (1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có:
\(T=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
\(\displaystyle T\geq \frac{(x+y+z)^2}{(y+z)+(x+z)+(x+y)}\)
\(\displaystyle T\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\)
\(\displaystyle T\geq \frac{x+y+z}{2}\)
Từ (1), suy ra:
\(\displaystyle T\geq \frac{2015}{4}\)
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(x+y+z\ge12\), với \(x,y,z>0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(P=\dfrac{x}{\sqrt y}+\dfrac{y}{\sqrt z}+\dfrac{z}{\sqrt x}\)
\(\displaystyle P\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2}{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z}\)
Suy ra \(P\ge\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\).
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2\ge x+y+z\ge12\).
Suy ra \(P\ge2\sqrt3\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\).
Khi đó \(P=\dfrac44+\dfrac44+\dfrac44=3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\), đạt được khi \(x=y=z=4\).
má ơi cái này em vẫn là lớp 3
trời ơi
Ta có:
$P = \dfrac{x}{\sqrt{y}} + \dfrac{y}{\sqrt{z}} + \dfrac{z}{\sqrt{x}}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$P \ge \dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}$
$= \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$
Mà ta có $(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 \ge x + y + z = 12$
Suy ra $P = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \ge 2\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = 4$
Câu hỏi này đc gần 6 năm r vẫn trả lời??? =))
@Nguyễn Quốc Đạt
1. \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\ge x+y+z\)
<=> \(2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\ge0\)
<=> \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\ge0\)
chỉ xảy ra khi dấu "=" khi 2 trong 3 số =0, 1 số còn lại >0
2. thay vào nếu x=y=z=4
=> \(P=3\cdot\frac{4}{\sqrt4}=6\) chứ ko phải 3
ý kiến của mik
\(P=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)
mà áp dụng bđt bunhiacopxki cho mẫu số
=> \(\sum\limits{x\sqrt{y}}=\sum\limits{\sqrt{x}\cdot\sqrt{xy}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}}\)
ta có bđt phụ \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z_{}\right)^2}{3}\)
=> \(\sum\limits{x\sqrt{y}}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{\left(x+y+z\right)^{\frac32}}{\sqrt3}\)
=> \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^{\frac32}}{\sqrt3}}=\sqrt3\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^{\frac32}}=\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
=> \(P\ge\sqrt{3\cdot12}=6\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z và x+y=z=12
=> x=y=z=4
Troi:))🙄
6 năm rồi ; _ ;
...
cho yxz x+z-y
Ta có: \(x + y + z \geq 12\), với \(x , y , z > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(P = \frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{z}} + \frac{z}{\sqrt{x}}\)
\(P \geq \frac{\left(\right. \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \left.\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}\)
Suy ra \(P \geq \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}\).
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\left(\right. \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \left.\right)^{2} \geq x + y + z \geq 12\).
Suy ra \(P \geq 2 \sqrt{3}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 4\).
Khi đó \(P = \frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{4}{4} = 3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\), đạt được khi \(x = y = z = 4\).
(câu hỏi này đc 6 năm rồi mà h ms trl, kbt h bn này còn onl ở o l m nx k)
em mới có lớp 6 thôi
X=4 y=5 z=3
Quá dễ
hello