Từ giả thiết ta có: \(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)

\(\Rightarrow P=x+y+z+\frac{2}{\left(x+y-z\right)^2.z}=x+y+z+\frac{8}{4z\left(x+y-z\right)^2}\)

Am-Gm:\(\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right).4z\le\frac{1}{27}\left(2x+2y+2z\right)^3=\frac{8}{27}\left(x+y+z\right)^3\)

\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\)

\(=\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge4\sqrt[4]{\frac{\left(x+y+z\right)^3.27}{27.\left(x+y+z\right)^3}}=4\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-z=4z\\x+y+z=3\\\left(x+y-z\right)^2=4xy\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=\frac{1}{2}\\x+y=\frac{5}{2}\\xy=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};2;\frac{1}{2}\right)\) hoặc \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\). Nhưng vì đề bài cho đối xứng với cả 3 biến nên dấu = xảy ra tại hoán vị của \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Vậy P min =4

Ngọc HnueThảo PhươngĐỖ CHÍ DŨNGMinh AnBăng Băng 2k6Vũ Minh Tuấn

Cộng hai vế phương trình lại ta có :

\(x+y-2z+z\left(x+y\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(z+1\right)-2\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(z+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x+y=2\) ( vì z dương nên không thể bằng -1 )

Ta có :

\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)

Vậy Min T = 2 khi x = y = 1

Không biết thêm ĐK \(x^2+y^2+z^2=8\) vào làm gì =,=!

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left| c\right|\ge\left|a+b+c\right|\) (bạn tự chứng minh)

Ta có: \(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y+z\right|=0\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 0

Tham khảo nhé :))

\(x+y+z=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y=-z\)\(S=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=\left|-z\right|+\left|z\right|\ge\left|-z+z\right|=\left|0\right|=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}xy\ge0\left(1\right)\\-z^2\ge0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\y\le0\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(z=0\)

Suy ra \(x^2+y^2=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(-z\right)^2-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=-4\)

\(\Leftrightarrow\)\(y=\dfrac{-4}{x}\)

Lại có \(x+y=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{-4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x^2-4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-4}{2}=-2\\y=\dfrac{-4}{-2}=2\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(S\) là \(0\) khi \(\left(x,y,z\right)=\left\{\left(2;-2;0\right),\left(-2;2;0\right)\right\}\)

Chúc bạn học tốt ~

Giải toán trên mạng

• Câu hỏi của s2 Lắc Lư s2
• Mới nhất
• TẠO CÂU HỎI MỚI

25 tháng 11 2015 lúc 21:27

GPT ngiệm nguyên x²+y²+z²=2xyz

o l m . v n

Vậy phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (0;0;0)

vì 2xyz chẵn => X^2+y^2+z^2 chẵn

2TH

TH1: giả sử x chẵn,y,z đều lẻ thì

x=2a,y=2b+1,z=2c+1

thay vào phương trình đã cho thì được VT lẻ , VP chẵn nên mẫu thuẫn

TH2: 3 số đều chẵn

x=2a,y=2b,z=2c

=> 4(a^2+b^2+c^2)=16abc

=> a^2+b^2+c^2=4abc

cứ như thế,pt lùi vô hạn, nghiệm bằng 0

x=y=z=0

Gợi ý cho bạn

dùng phương pháp lùi hạn khi xét x,y,z chẵn lẻ nhé bn( do 2xyz chẵn)