Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lấy điểm O trong ΔABC sao cho \(\hat{AOB}=\hat{BOC}=\hat{AOC}=120^0\)
Đặt OA=x; OB=y; OC=z
Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)
=>\(x^2+y^2-AB^2=2\cdot x\cdot y\cdot\frac{-1}{2}=-xy\)
=>\(AB^2=x^2+y^2+xy=1\)
=>AB=1
Xét ΔOAC có \(cosAOC=\frac{OA^2+OC^2-AC^2}{2\cdot OA\cdot OC}\)
=>\(x^2+z^2-AC^2=2\cdot x\cdot z\cdot cos120=-xz\)
=>\(AC^2=x^2+z^2+xz=\frac34\)
=>\(AC=\frac{\sqrt3}{2}\)
Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)
=>\(\frac{y^2+z^2-BC^2}{2\cdot y\cdot z}=cos120=-\frac12\)
=>\(y^2+z^2-BC^2=-yz\)
=>\(BC^2=y^2+z^2+yz=\frac14\)
=> BC=1/2
Vì \(CA^2+CB^2=AB^2\)
nên ΔCAB vuông tại C
=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}xy\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}yz\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}xz\sin(120^\circ)\)
=>\(S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}(xy + yz + xz)\)
=>\(\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+xz)=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
=>\(xy+yz+xz=\frac{1}{2}\)
\((x^2 + xy + y^2) + (y^2 + yz + z^2) + (x^2 + xz + z^2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\)
=>\(2(x^2 + y^2 + z^2) + (xy + yz + xz) = 2\)
=>\(2(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=2\)
=>\(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{4}\)
\((x + y + z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + xz)\)
\(=\frac34+2\cdot\frac12=\frac74\)
=>\(x+y+z=\frac{\sqrt7}{2}\)
=>\(B=\frac{\sqrt7}{2}\)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3
Cmr \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+xz}\ge670\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2007}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)
Đồng thời:
\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)
dấu = xảy ra khi nào ạ ?