1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)

2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)

3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)

2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)

3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=y^2+1\left(1\right)\\y+\frac{1}{y}=z^2+1\left(2\right)\\z+\frac{1}{z}=x^2+1\left(3\right)\end{cases}}\left(ĐKXĐ:x;y;z\ne0\right)\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}=y^2+1\)

              \(\Rightarrow x=\frac{x^2+1}{y^2+1}>0\)

Tương tự \(y=\frac{y^2+1}{z^2+1}>0\)

                \(z=\frac{z^2+1}{x^2+1}>0\)

Áp dụng bđt cô-si có \(x+\frac{1}{x}\ge2\) 

\(\Rightarrow y^2+1\ge2\)

\(\Rightarrow y\ge1\)

Tương tự \(x;z\ge1\)

ta có \(xyz=\frac{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}=1\)

Mà \(x;y;z\ge1\Rightarrow xyz\ge1\)

Do đó dấu "=" khi x = y = z = 1 

Yey =)))