Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 3:
a, đặt x12=y9=z5=kx12=y9=z5=k
=>x=12k,y=9k,z=5k
ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20
=> (12.9.5)k^3=20
=>540.k^3=20
=>k^3=20/540=1/27
=>k=1/3
=>x=12.1/3=4
y=9.1/3=3
z=5.1/3=5/3
vậy x=4,y=3,z=5/3
b,ta có: x5=y7=z3=x225=y249=z29x5=y7=z3=x225=y249=z29
A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
\(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{162}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(B\ge\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge x;\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\ge y;\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+x-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)
Vậy, \(GTNN\) của \(P=4\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge x;\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\ge y;\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+x-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)
Vậy, \(GTNN\) của \(P=2\)
P=\(\dfrac{x^2}{y+z}\)+\(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
P+x+y+z=\(\dfrac{x^2}{y+z}+x+\dfrac{y^2}{x+z}+y+\dfrac{z^2}{x+y}+z\)
=\(\dfrac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\dfrac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\dfrac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
=(x+y+z)(\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\))(*)
ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
ta có:\(\dfrac{x}{y+z}+1+\dfrac{y}{x+z}+1+\dfrac{z}{x+y}+1\ge\dfrac{9}{2}\)
(x+y+z)(\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}\))\(\ge\dfrac{9}{2}\)
đặt a=x+y;b=y+z;c=z+x, ta có bất phương trình sau:
\(\dfrac{a+b+c}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)(**)
mà a+b+c\(\ge3\sqrt[3]{abc}\);\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
<=>(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge\)9
=>(**) được chứng minh
thay vào (*) ta được:P=(x+y+z)(\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}-1\))
\(\ge\)4(\(\dfrac{3}{2}-1\))=2
nhìn bn giải bài này vất vả thật
hjhj nhưng đúng chứ.
cách khác nè
áp dụng BĐT svac :
P\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\dfrac{16}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{16}{8}=2\)
vậy Min P = 2
hic nhìn lên thấy ông ace legona làm zùi @@
chuẩn luôn rồi