Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{x^2}{1+2yz}+\frac{y^2}{1+2zx}+\frac{z^2}{1+2xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
Nên thay vào ngược dấu
=> ch bt lm
Nói chung khá đơn giản. Em chứng minh bất đẳng thức sau đây là được.
\(\frac{x^2}{1+2yz}=\frac{x^2}{x^2+\left(y^2+z^2+2yz\right)}=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
Có thể chứng minnh nó bằng cách: \(f\left(x,y,z\right)=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
Ta chứng minhL \(f\left(x,y,z\right)\ge f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)\ge0\) (quy đồng phát là ra nhân tử (y-z)^2 nên hiển nhiên:v)
Tương tự cộng lại. Xong.
Cách Cauchy-SChwarz:
Chứng minh theo trình tự: \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\Sigma x^2\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]}\ge\frac{3}{5}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\) \(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-\left(yz+zx\right)\\yz=-\left(xy+zx\right)\\zx=-\left(xy+yz\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}=\frac{1}{x^2+yz+yz}=\frac{1}{x^2-xy+yz-zx}=\frac{1}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}\)
CMTT:
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(z-y\right)}+\frac{1}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(z-y\right)+\left(x-z\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(z-y\right)}=0\left(đpcm\right)\)
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp'ppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppp
Tao co:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow yz+xz+xy=0\)
\(Suyra:yz=-xz-xy;xz=-yz-xy;xy=-yz-xz\)
\(\Rightarrow x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
\(\Rightarrow y^2+2xz=y^2+xz-yz-xy=z\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(z-y\right)\)
\(\Rightarrow z^2+2xy=z^2+xy-yz-xz=z\left(z-y\right)-x\left(z-y\right)=\left(z-y\right)\left(z-x\right)\)
\(Thay:\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(z-y\right)}+\frac{1}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{z-y+x-z-x+y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}=0\left(dpcm\right)\)
^^
Bạn tự c/m BĐT : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu " = " xảy ra ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2yz+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\)\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)
Bạn tự giải dấu bằng nhé.
\(\frac{x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx}{x^2-2xy+y^2-z^2}=\frac{\left(x-y+z\right)^2}{\left(x-y\right)^2-z^2}=\frac{\left(x-y+z\right)^2}{\left(x-y-z\right)\left(x-y+z\right)}=\frac{x-y+z}{x-y-z}\)
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(P=\frac{\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2xz}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2xy}}\right)^2\right]\left[\sqrt{x^2+2yz}^2+\sqrt{y^2+2xz}^2+\sqrt{z^2+2xy}^2\right]}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(Bunyakovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x}{x^2+2yz}=\frac{y}{y^2+2xz}=\frac{z}{z^2+2xy}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy GTNN P=1 <=> x=y=z
Ngay ở trên hai cái [...] [...] nhân với nhau ấy, tại nó dài quá
toàn lớp 8e trường trung học cơ sở đan phượng đẹp trai nhất hanhdf tinh đêyy
cách khác nhé .
Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức , ta có :
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Vậy GTNN của P \(=1\)đạt được khi \(x=y=z\)