Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\)
Cộng theo từng vế
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow1\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)
Ta có : \(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số :
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có: \(1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\)
=> \(x+y+z\ge1\)
Có: \(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z =1/3
Vậy min A = 1/2 <=> x = y = z = 1/3
\(\frac{27}{3\sqrt{3x-2}+6}+\frac{8+4x-x^2}{x\sqrt{6-x}+4}\ge\frac{3}{2}+\frac{2x-14}{3\sqrt{6-x}+2}>0\)
Nên phần còn lại vô nghiệm
Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{1.x.y}}=\sqrt{3xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz}\); \(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3zx}}{zx}\)
\(\Rightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow min_S=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Xét bất đẳng thức : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng ta có :
\(2\left(y^2+z^2\right)\ge\left(y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\ge y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
Tương tự ta có \(\frac{y^2}{x+z}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}};\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Cộng theo vế của 3 bđt ta được :
\(A\ge\Sigma\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x^2+y^2}\\b=\sqrt{y^2+z^2}\\c=\sqrt{z^2+x^2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó :
+) \(a+b+c=2017\)
+) \(a^2+b^2-c^2=x^2+y^2+y^2+z^2-z^2-x^2=2y^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=y^2\)
\(\)+) \(\sqrt{2\left(z^2+x^2\right)}=\sqrt{2}c\)
Do đó ta có \(A\ge\frac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2c}}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2\sqrt{2}a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}+2c-3c\right)\right]\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(2\left(a+b\right)-3c\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot2017=\frac{2017}{2\sqrt{2}}=\frac{2017\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=...\)
@Nguyễn Việt Lâm
@Lê Thị Thục Hiền
@Phạm Minh Quang
mất dạy nỏ đi hk
câu ni đăng lâu rồi mà
từ từ để em xem ạ
@Phạm Minh Quang mần chưa
\(P=\sum\frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2}}{4yz+1}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}\)
Đặt \(\left(x+y;y+z;z+x\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=3\)
\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{a}{b^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\right)\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)\)
\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right)\)
\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(P_{min}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
mấy cái bđt thì gọi a Lâm giải cho
ok
em ko hiểu cái dòng đầu tiên cho lắm.
Em nghĩ là \(\ge\sqrt{\frac{3}{2}}\Sigma\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}\) chứ nhỉ?
\(\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)