BÀI 1: Cho các đẳng thức sau: \(x+y=5\),  \(xy=1\)(điều kiện x+y+5 có thể thành \(x=5-y\)). Tính :

a)\(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)\left(y^2+\frac{1}{y}\right)\)    c)\(x^3+x^4+y^3+y^4\)       e) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\)    g) \(\sqrt[x]{y}+\sqrt[y]{x}\)

b)\(x^3+y^3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)         d)\(x^2-y^2\)                       f) \(\sqrt[x]{x}+\sqrt[y]{y}\)                  h)\(x^5+y^5;x^6+y^6;x^7+y^7\)

BÀI 2: Cho x+y = m+1; xy = m-2

 a) tìm min A= \(x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2=1\right)\)

b) tìm min B= \(1-x^2-y^2\)

c) tìm min C= \(\left(x+2y\right)\left(y+2x\right)\)

d) tìm min D= \(\left(x-3y\right)\left(y-3x\right)\)

nhanh tay

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) \(E=x\left(x-y\right)+y\left(x+y\right)\) tại \(x=\frac{-1}{2};y=3\)

b) \(A=5x\left(4x^2-2x+1\right)-2x\left(10x^2-5x-2\right)\) tại \(x=15\)

c) \(B=5x \left(x-4y\right)-4y\left(y-5x\right)\) tại \(x=\frac{1}{5};y=\frac{-1}{2}\)

d) \(C=6xy\left(xy-y^2\right)-8x^2\left(x-y^2\right)-5y^2\left(x^2-xy\right)\) tại \(x=\frac{1}{2};y=2\)

e) \(D=\left(y^2+2\right)\left(y-4\right)-\left(2y^2+1\right)\left(\frac{1}{2}y-2\right)\) tại \(y=2\)

TÌM MAX; MIN 

1.  \(-x^2-y^2+xy+2x+2y\)

2. \(\left(x-2\right)\left(x-5\right)\left(x^2-7x-10\right)\)

3.\(\left|x-4\right|\left(2-\left|x-4\right|\right)\)

4. \(\left(2x-1\right)^2-3\left|2x-1\right|+2\)

5. \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)

6. \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\)

      CM đẳng thức

\(\frac{2x+y}{2x^2-xy}\) + \(\frac{8y}{y^2-4x^2}\)+  \(\frac{2x-y}{2x^2+xy}\)= \(\frac{2\left(2x-y\right)}{x\left(2x+y\right)}\) 

\(\frac{1}{x\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\) + \(\frac{1}{y\left(y-x\right)\left(y-z\right)}\)+ \(\frac{1}{z\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)= \(\frac{1}{xyz}\)

Ta có: \(a^3+b^3+3\left(a^2+b^2\right)+4\left(a+b\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2+3b^2+4a+4b+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+a+b+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)^2\right]+\left(a+b+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)^2+1\right]=0\left(1\right)\)

Đặt  \(a+1=x;b+1=y\)

Xét \(x^2-xy+y^2+1=x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}-\frac{y^2}{4}+y^2+1\)

                                           \(=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2\ge0;\forall x,y\\\frac{3}{4}y^2\ge0;\forall x,y\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge0;\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1\ge1>0;\forall x,y\)

Hay \(\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)^2+1>0\)

Từ đó\(\left(1\right)\)xảy ra \(\Leftrightarrow a+b+2=0\)

                                  \(\Leftrightarrow a+b=-2\)Thay vào biểu thức M ta đuợc:

\(M=2018.\left(-2\right)^2=8072\)

Vậy ...

So sánh các số sau

a)\(A=2018.2020+2019.2021\) Và \(B=2019^2+2020^2-2\)

b)\(A=10\left(9^2+1\right)\left(9^4+1\right)\left(9^8+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right)\)và\(B=9^{64}-1\)

c)\(A=\frac{x-y}{x+y}\)và\(B=\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}\)với x>y>0

d)\(A=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^2-y^2}\)và\(B=\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\)với x>y>0