Câu hỏi của Nguyen Thi Thu Huyen

Question

cho x,y>0.Tìm GTNN của biểu thức Q=$\frac{\left(x+y\right)^3}{xy^2}$

Hoàng Tử Hà · Accepted Answer

$\Leftrightarrow Q=\frac{\left(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\right)^3}{xy^2}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương:

$x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{xy^2}{4}}$

$\Rightarrow\left(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\right)^3\ge3.\frac{xy^2}{4}$

$\Rightarrow Q\ge\frac{3.\frac{xy^2}{4}}{xy^2}=\frac{3}{4}$

$"="\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}\Leftrightarrow y=2x$

Câu trả lời:

$\Leftrightarrow Q=\frac{\left(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\right)^3}{xy^2}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương:

$x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{xy^2}{4}}$

$\Rightarrow\left(x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\right)^3\ge3.\frac{xy^2}{4}$

$\Rightarrow Q\ge\frac{3.\frac{xy^2}{4}}{xy^2}=\frac{3}{4}$

$"="\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}\Leftrightarrow y=2x$