Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le1.\)
\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)+2013\ge2x^2.2y^2+2013\ge4+2013=2017\)
Min=2017
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ta có : \(M=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\)
Mặt khác, theo bđt Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{1+y^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2+x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Do đó : \(M\ge\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=8\\\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)(vì x,y >0)
Vậy \(MinM=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow x=y=2\)
F=x3+y3+2xy=(x+y)3-3xy(x+y)+2xy
=(x+y)3-xy(3x+3y-2)
=20073-xy[3.2007-2]
làm tiếp đi
chú ý \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt AM-GM)
Đầu tiên tìm GTLN, GTNN của xy.
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(x\ge y+1\)
\(\Leftrightarrow x-y-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x-y-1+xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)\ge xy\)
Từ đây ta suy được:
\(2006.1< 2005.2< 2004.3< ...< 1003.1004\)
Vậy \(min_{xy}=2006.1;max_{xy}=1003.1004\)
Ta lại có:
\(F=\left(x+y\right)^3-xy\left(3x+3y-2\right)\)
Thế vô là xong
Bên học24 mình đã xài \(\Delta\) vậy bên này mình sẽ xài HĐT kiểu Cosi như ý bn :))
Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\) ta có:
\(x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Rightarrow A\le4+\frac{A}{2}\Rightarrow A\le8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\pm2\)
*)Nếu \(xy\ge0\Rightarrow A\ge4\)
*)Nếu \(xy< 0\). WLOG \(x>0;y< 0\). \(y\rightarrow-z\left(z>0\right)\)
Have \(\frac{A}{4}=\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)
\(=1+\frac{xy}{x^2+y^2+xy}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+z^2\ge2xz\\x^2+z^2+xz\ge3xz\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{xz}{x^2+z^2+zx}\le\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{A}{4}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\ge1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge\frac{8}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)
\(A=\frac{1}{9}\left(3x-2y-2\right)^2+\frac{5}{9}\left(y-2\right)^2+8\ge8\)
Can downvote-er this answer explain us, why you do that? If you don't understand something, I ready to help you!
Thôi em giải thích luôn, cách này có phần ăn may, nhưng dễ hiểu!
Chắc hẳn mọi người thắc mắc về cái phân tích kì lạ của em, đúng không? Không có gì lạ cả. Dự đoán x = y =2
=> A = 8. Ta xét hiệu: \(A-8=x^2+y^2-8=x^2+y^2-8+a\left(x+y+xy-8\right)\) (a chọn sau, chú ý em đã thay "a" -tên biểu thức trong giả thiết thành "A")
\(=\frac{\left(ay+a+2x\right)^2}{4}+\frac{\left(ay+a+2y\right)^2\left(2-a\right)}{4\left(a+2\right)}-\frac{\left(3a+4\right)^2}{a+2}\)
Như thường lệ, ta muốn biểu thức trên là tổng các bình phương (để nó luôn \(\ge0\)), vậy ta chọn a sao cho:
\(-\frac{\left(3a+4\right)^2}{a+2}=0\Rightarrow a=-\frac{4}{3}\)
Đến đây ổn rồi, thay \(a=-\frac{4}{3}\) vào đẳng thức: \(A-8=\frac{\left(ay+a+2x\right)^2}{4}+\frac{\left(ay+a+2y\right)^2\left(2-a\right)}{4\left(a+2\right)}-\frac{\left(3a+4\right)^2}{a+2}\)...
Sorry bạn đăng câu hỏi vì đả làm loãng câu hỏi của bạn :P.
Mình xin hòi bạn tth cái này.Mình biết làm thế nào bạn có thể tách được thế.
Và mình cũng dùng cách đó để tách bài này:
\(x^2+y^2+z^2+2xyz+1-2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+yz-y-z\right)^2+\left(z-1\right)^2-z\left(z-2\right)\left(y-1\right)^2\)
Và thấy đó nó lại có chứa dấu âm.Mình có suy nghỉ là dùng đẳng thức khác để tách rồi gọp lại nhưng chẳng biết tách thế nào.
Bạn có thể giúp mình phần này được không.Nếu bạn không tiện giải thích ở đây thì có thể nhắn riêng.
nub khi đó bạn phải dùng tới phương pháp SOS của mình để giải quyết hoàn toàn bài toán:
Xem ở đây KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG CỰC NGẮN CHO MỌI BẤT ĐẲNG THỨC [DRIVE!sos] - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học.
Xem bài toán trên tại: Notes on Sum of Squares (SOS) expressions for a^2+b^2+c^2+2abc+1 - 2(ab+bc+ca) (câu trả lời của SBM, đó chính là mình)
Cụ thể, khi bạn tách được chứ cụm: \(-\left(z-2\right)\), vậy bạn nhóm ngay cho mình 1 biểu thức khác sao cho chứa \(\left(z-2\right)\)(dấu dương). Ở bài này, cụ thể mình nhóm \(2xy\left(z-2\right)\) (để mất x, y, z cho dễ phân tích)
Phần còn lại bạn nhóm tiếp theo cách trên!
Sau khi có được 2 đẳng thức, một chứa dấu âm (dương), một chưa dấu dương (âm) thì bạn dùng phương pháp của mình để gộp 2 cái đó lại là ổn
Đánh nhầm, dòng 4 từ dưới lên:...(dể mất xyz cho dễ phân tích)
Cách bạn giới thiệu hay đó và mình áp dụng vào bài này:
\(F\left(a;b;c\right)=4\left(a+b+c\right)^3-27\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\)
\(F\left(a;b;c\right)=F_1\left(a;b;c\right)=\left(4a+4b+c\right)\left(a-b\right)^2+\left(-11a+16b+4c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(F\left(a;b;c\right)=F_2\left(a;b;c\right)=\left(4a+4b+c\right)\left(a+b-2c\right)^2-\left(27a-6c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Nếu chỉ đơn thuần áp dụng hệ thức thì ta có:
\(F\left(a;b;c\right)=\frac{\left(4a+4b+c\right)\left[\left(27a-6c\right)\left(a-b\right)^2+\left(-11a+16b+c\right)\left(a+b-2c\right)^2\right]}{16a+16b-5c}\)
Thế thì chúng ta vẫn chưa chứng minh được.Bạn có thể nói cho mình biết là nên thêm gì vào hai đẳng thức trên không?Hay là cách tách này chỉ dùng được với những bài hở?
nub Bạn nên đăng câu hỏi riêng ra nha, đừng đăng vô đây làm loãng câu hỏi, mình trả lời lần này ở đây thôi!
Bạn xem lại đẳng thức F2.
Bài của bạn, xem tại đây:
$4(a+b+c)^3 -27(a^2 b+b^2 c +c^2 a +abc) \geq 0$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
$$4(\,x+ y+ z\,)^{\,3}- 27(\,xy^{\,2}+ yz^{\,2}+ zx^{\,2}+ xyz\,)\geqq 0$$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Có rất nhiều kiểu phân tích luôn!