Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 sô dương ta có

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)

tương tự

\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\left(2\right);\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)

mặt khác \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt{3}\left(4\right)\)

Cộng các BĐT 1,2,3,4 ta đc đpcm

Đẳng thức xảy ra khi (1) (2) (3) (4) là các đẳng thức <=> x=y=z=1

nguồn : ĐH 2005A-db1

mình trả lời r mà sao chưa hiện ra thế nhỉ ??

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

bn cứ quy đồng lần lượt 2 hạng tử đầu tiên là đc thôi

mk giải phần a k ra

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lf ra

    \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}\)

\(=\frac{1-y}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}-\frac{1-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\)

\(=\frac{-x^2-x-1+y^2+y+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}\)

\(=\frac{\left(y^2-x^2\right)+y-x}{x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y^2+y+1}\)

\(=\frac{\left(y-x\right)\left(y+x\right)+y-x}{x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+xy+y^2+x+y+1}\)

\(=\frac{y-x+y-x}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x\left(x+y\right)+y^2+x+y+1}\)

\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+xy+x+y^2+x+y+1}\)

\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+x\left(y+1\right)+y^2+x+y+1}\)

\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+\left(1-y\right)\left(y+1\right)+y^2+\left(x+y\right)+1}\)

\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+1-y^2+y^2+1+1}\)

\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+3}\)

1) \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

2) \(\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(\sqrt{xy}\right)^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)

bạn Diệu Linh ơi, bài này bảo chứng minh điều đó là đúng chứ không bảo điều đó là giả thiết nhé bạn, nhưng cũng cảm ơn bạn vì đã giúp mình =))