Giải bài này hơi dài, t ngại làm lắm :v you vào ib t chỉ cho =))

Giải:

(*) Có: \(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\dfrac{a^2+2}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{12}{\left(x+y\right)\sqrt{x+y+1}}\ge\dfrac{12}{\dfrac{x+y+2}{2}}=\dfrac{24}{x+y+2}\)

Tương tự:

\(\dfrac{12}{\left(y+z\right)\sqrt{y+z+1}}\ge\dfrac{24}{y+z+2}\)

\(\Rightarrow P\ge\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2+24\left(\dfrac{1}{x+y+2}+\dfrac{1}{y+z+2}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2+\dfrac{24\cdot4}{x+2y+z+4}\)

\(\Rightarrow\) Ta đánh giá \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2\) theo x + 2y + z

--> Min

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

\(\left(1^2+2^2+1^2\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2\right]\ge\left[x-1+2\left(y-2\right)+z-1\right]^2\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge\dfrac{1}{6}\left(x+2y+z-6\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{6}\left(x+2y+z-6\right)^2+\dfrac{96}{x+2y+z+4}\ge\dfrac{26}{3}\)

Xảy ra khi x = y = z = 2

P/s: T làm ra vậy đó, Ai thấy sai thì góp ý nha, nhưng mà t thấy t lm đúng á :v @Ace Legona, @Unruly Kid mời 2 bác coi thử :)

Gió: Đây là lời giải cụ thể hôm bữa t ns vs you đó

(Hôm trc nhẩm nhẩm thấy dài dài, hôm này làm ra thấy có 1 mẩu giấy :v)

a) Cả hai phương trình đều có chung \(\sqrt{x+3}\)

pt đầu suy ra  \(\sqrt{x+3}=2\sqrt{y-1}\)

pt sau suy ra \(\sqrt{x+3}=4-\sqrt{y+1}\)

Vậy \(2\sqrt{y-1}=4-\sqrt{y+1}\), đk y > 1

\(4\left(y-1\right)=16-8\sqrt{y+1}+y+1\)

\(8\sqrt{y+1}+3y-21=0\)

Đặt \(\sqrt{y+1}=t\)

=> y = t² - 1

=> 8t + 3(t² -1) -21 =0

3t² + 8t - 24 = 0

=> t = ...

=> y = t² - 1

=> \(\sqrt{x+3}=2\sqrt{y-1}\)

=> x =...

b) Trừ hai pt cho nhau ta có:

x² - y² = 3(y - x)

(x - y) (x + y + 3) = 0

=> x = y hoặc x + y + 3 = 0

Xét hai trường hợp, rút x theo y rồi thay trở lại một trong hai pt ban đầu tìm ra nghiệm

a)

ĐK: $x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2$

TXĐ: $[2;+\infty)$

b)

ĐK: $4x-3\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{3}{4}$

TXĐ: $[\frac{3}{4};+\infty)$

c) ĐK: \(x+2>0\Leftrightarrow x>-2\)

TXĐ: $(-2;+\infty)$

d)

ĐK: $3-x>0\Leftrightarrow x< 3$

TXĐ: $(-\infty; 3)$

e)

$4-3x>0\Leftrightarrow x< \frac{4}{3}$

TXĐ: $(-\infty; \frac{4}{3})$

f)

ĐK:\(\left\{\begin{matrix} x^2+2\geq 0\\ x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 0\)

TXĐ: $[0;+\infty)$

g) ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x^2-2x+1\geq 0\\ 2-3x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)^2\geq 0\\ x\leq\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq \frac{2}{3}\)

TXĐ: $(-\infty; \frac{2}{3}]$

h)

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 2+x\geq 0\\ x-2\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 2\)

TXĐ: $[2;+\infty)$

i)

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 2+x\geq 0\\ 2-x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2\geq x\geq -2\)

TXĐ: $[-2;2]$