Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương $x,y,z$ ta có:

$(\sqrt{3}-1)^2x^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xy$

$(\sqrt{3}-1)^2z^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)yz$

$2(\sqrt{3}-1)x^2+2(\sqrt{3}-1)z^2\geq 4(\sqrt{3}-1)xz$

Cộng theo vế và thu gọn:

2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(\sqrt{3}-1)(xy+yz+2xz)$

$\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+2xz}\geq \sqrt{3}-1$

Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}-1$ khi $(\sqrt{3}-1)x=(\sqrt{3}-1)z=y$

\(x^2+y^2\le2x+4y\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\le5\)

Trong hệ tọa độ \(Oxy\)vẽ đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5\)(C) và đường thẳng \(2x+y-F=0\)(d)

\(F=2x+y\)đạt GTNN hay GTLN khi (d) là tiếp tuyến của (C). 

\(I\left(1,2\right)\)là tâm của (C), \(R=\sqrt{5}\)là bán kính của (C).

\(d\left(I,d\right)=\frac{\left|2.1+2-F\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|F-4\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}F=-1\\F=9\end{cases}}\).

Vậy \(minF=-1,maxF=9\).

1)Thấy: x=0;y=0 không phải là nghiệm của hệ.

\(\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2-3=3\left(y^2+1\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2=3\left(y^2+2\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^3-8x=y\left(y^2+2\right)\\x^2y=3y\left(y^2+2\right)\end{cases}\)

Trừ vế theo vế hai phương trình,đc:

\(x^3-8x-\frac{x^2y}{3}=0\Leftrightarrow y=\frac{3\left(x^3-8x\right)}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{3\left(x^2-8\right)}{x}\).Thay \(y=\frac{3\left(x^2-8\right)}{x}\) vào pt 2 đc:

\(26x^4-426x^2-1728=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=9\\x^2=\frac{96}{13}\end{cases}\) dễ nhé 

lần sau bn đăng ít 1 thôi nhé

a: \(x\in\left[-2;3\right]\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}x^4\in\left[0;81\right]\\x^2\in\left[0;9\right]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^4+3x^2\in\left[0;108\right]\)

=>\(y\in\left[2;110\right]\)

y=2 khi x=0

y=110 khi \(x^4+3x^2=108\)

=>x^4+12x^2-9x^2-108=0

=>x=3

c: \(y=x\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1-1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2-1>=-1\)

Dấu'=' xảy ra khi x^2+3x+1=0

hay \(x\in\left\{\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

\(x+y=4\Rightarrow y=4-x\)

\(P=2x^2+\left(4-x\right)^2-3x+4-x\)

\(P=3x^2-12x+20\)

Do \(x+y=4\Rightarrow0\le x\le4\)

Xét \(P=f\left(x\right)=3x^2-12x+20\) trên \(\left[0;4\right]\)

\(P\left(0\right)=20\) ; \(P\left(4\right)=20\); \(P\left(-\frac{b}{2a}\right)=P\left(2\right)=8\)

\(\Rightarrow P_{max}=20\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;4\right);\left(4;0\right)\)

\(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)

Cho x ;y không âm thỏa \(xy+x+y=8\). Tìm max \(x^2+y^2\).

Vì x; y không âm nên ta có ngay \(xy\ge0\) \(\Rightarrow8\ge x+y\)

\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\le64\)

Dấu = xảy ra khi (x;y) = (8;0); (0;8)

\(x^2+y^2\\ =\dfrac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\dfrac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\dfrac{8}{3}\\ \ge\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+xy\right)-\dfrac{8}{3}=8\)

Vây Min A = 8 khi x=y=2

\(y=-3x^2-5x+10\)

À mà thôi, nhìn cái đoạn cần xét \(\left[2;-3\right]\) là thấy đề sai rồi

Bạn viết đề có nhầm ko nhỉ? Ngoặc đầu tiên có bình phương mới hợp lý, chứ ko có bình phương thì quá dễ?

\(y=-3x^2-6x+10\)

\(-\frac{b}{2a}=-1\in\left[-2;3\right]\)

\(y\left(-2\right)=10\) ; \(y\left(-1\right)=13\); \(y\left(3\right)=-35\)

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(-1\right)=13\) ; \(y_{min}=y\left(3\right)=-35\)

Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}\le8\) hay \(\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le3\Rightarrow xy\le4\)

Ta có : \(\left(9-xy\right)^2=\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2\left(x+y+xy\right)=x^2+y^2+17\)

Vì \(xy\le4\Rightarrow9-xy\ge5\Rightarrow\left(9-xy\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+17\ge25\)

\(\Rightarrow A\ge8\) . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2

Vậy Min A = 8 tại x = y = 2

Ta có:

\(x^2+y^2=\)

\(=\frac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\frac{8}{3}\)

\(\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)

\(\Rightarrow P\ge8\)

Dấu = khi \(x=y=2\)

Vậy MinP=8 khi x=y=2