VV
11
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
IL
23 tháng 1 2018
t lắm tắt luôn nhé có nhiều câu quá
áp dụng bdt cô si ta có
a) \(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1.xyz}{xyz}}=4\)
vậy Min của T là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
b)
áp dụng BDT cosi ta có
\(x+y+Z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{3}{xyz}+3xyz\ge2\sqrt{\frac{3.3xyz}{xyz}}=6\)
+ vế với vế ta được
\(T+3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}+6\)
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3xyz\)
có \(xyz\le\frac{\left(x+y+Z\right)^2}{27}\Rightarrow-xyz\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{27}\) cùng dấu > thay vào được
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Có \(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+1\ge2z\) (cosy)
+ vế với vế ta được
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(3\ge\left(x+y+z\right)\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-3\) cùng dấu > ta thay được
\(\Rightarrow T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(3\right)^3}{27}\)
\(\Rightarrow T\ge6\) dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) dự đoán của chúa pain x=y=z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
thử thay vào
\(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}\)
số xấu lắm m tự làm đi tương tự câu 1) 2)
23 tháng 1 2018
1) dự đoán của chúa Pain x=y=z=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{xyz}{xyz}}=4.\)
Vậy Min là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
2 chia cả tử cả mẫu cho \(x^2+y^2+z^2=3\) ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{xyz}\)
thay số ta được
\(\left(x+y+z+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\right)\)
áp dụng Cô si ta được
\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=6\)
vậy Min là 6 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) TƯỢNG TỰ cậu 2
chia xyz cho 2 vế
\(x^2+y^2+z^2=1\)
ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}\)
thay số
\(\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta được
\(\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{y}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\ge....\)
tự làm
28 tháng 10 2020
a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
Vật bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
14 tháng 8 2020
ta chứng minh A>=2 (1) thật vậy
\(A\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)
\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz\ge xyz\)
từ giả thiết => \(0\le x;y;z\le2\)do đó \(2xy+2yz+2zx\ge2xy\ge xyz\)
vậy (1) được chứng minh. dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;0;0) và các hoán vị
XO
29 tháng 1 2022
Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)
\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)
"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1
Y
3
SV
4 tháng 5 2015
Ta có 1 = x+y+z = (x+y) +z
Áp dụng bđt Cauchy với 2 số dương x+y và z ta đc : \(1=\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1^2\ge4\left(x+y\right)z\)
hay \(1\ge4\left(x+y\right)z\Rightarrow x+y\ge4\left(x+y\right)^2z\)(vì x+y >0) (*)
Ta lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(**)
Từ (*) và (**) => \(x+y\ge16xyz\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Dấu = xảy ra <=> x = y ; x+y+z =1 và (x+y)/xyz = 16
Giải hệ này ta đc x = y = 1/4 và z = 1/2
VD
7 tháng 5 2015
Ta có 1 = x+y+z = (x+y) +z
Áp dụng bđt Cauchy với 2 số dương x+y và z ta đc : $1=\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1^2\ge4\left(x+y\right)z$1=(x+y)+z≥2√(x+y)z⇒12≥4(x+y)z
hay $1\ge4\left(x+y\right)z\Rightarrow x+y\ge4\left(x+y\right)^2z$1≥4(x+y)z⇒x+y≥4(x+y)2z(vì x+y >0) (*)
Ta lại có $\left(x+y\right)^2\ge4xy$(x+y)2≥4xy(**)
Từ (*) và (**) => $x+y\ge16xyz\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge16$x+y≥16xyz⇒x+yxyz ≥16
Dấu = xảy ra <=> x = y ; x+y+z =1 và (x+y)/xyz = 16
Giải hệ này ta đc x = y = 1/4 và z = 1/2
P min = 2 nhá tại (0;0;2).
Từ giả thiết suy ra \(x\le2\)
\(4=x^2+y^2+z^2+xyz\le x^2+y^2+z^2+2yz\le x^2+\left(y+z\right)^2+2x\left(y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\)
Vậy \(x+y+z\ge2\)
Min P=2 với (x,y,z)=(2;0;0) và các hoán vị
Bạn tham khảo lời giải của thầy Nghiệp ở đây nhé ! Vào TKHĐ của mình để xem ảnh
Cách đẹp hơn khi tìm GTLN :V Dirichlet ngầu lòi :D
Lemma: \(x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) ( cái này có tổng quát mà quên cmnr )
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số \(x-1;y-1;z-1\) tồn tại 2 số cùng dấu
Giả sử đó là \(x-1;y-1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\Leftrightarrow2xyz+2z\ge2xz+2yz\)
Ta cần chứng minh:
\(x^2+y^2+z^2+2xz+2yz+1-2z\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) * đúng *
Khi đó:
\(x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+2xyz+1\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2+xyz\right)+1\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
Vậy ...............
Cảm ơn bạn . Bạn giúp mình thêm câu này được không ạ : Cho các số thực x,y thỏa mãn : x + y = căn(x+1) + căn(y+1) . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất ( nếu có ) P = x + y + 2020
min
\(x+y=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\ge\sqrt{x+y+2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+1\right)\left(x+y-2\right)\ge0\)
dễ thấy \(x+y+1\ge1>0\)\(\Rightarrow\)\(x+y\ge2\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;0\right);\left(0;3\right)\right\}\)
max
\(x+y=\sqrt{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(x+1\right)}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(y+1\right)}\right)\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}\left(\frac{x+y+5+\sqrt{5}}{2}\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\le\sqrt{5}+1\)
"=" \(x=y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
Max:
\(S=x+y=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\)
\(\Rightarrow S^2=x+y+2+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(\le x+y+2+x+y+2=2S+4\)
\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)^2\le5\Leftrightarrow-\sqrt{5}+1\le S\le\sqrt{5}+1\)
Chú ý là điểm rơi không xảy ra nhé
\(\Rightarrow P\le2021+\sqrt{5}\)
Mình cảm ơn các bạn ạ
Cậu tự CM \(P\ge2\)nha
\(P\ge2=>\left(x+y+z\right)^2\ge4\)
\(=>x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)
\(=>2xy+2yz+2xz\ge xyz\)
dấu = xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,0,0\right)\)zà các hoán zị nha
GTNN của P=2
mình làm hơi tắt . có j ko hiểu hỏi nhé
Hơi chen lấn nhưng mn giúp em với
Cho 4 số không âm a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d=1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
cục xì lầu ông bê lắc