Bạn ơi x₁; x₂ là 2 nghiệm của phương trình gì ạ :V 

Bài 4:

a: \(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m+1\right)\)
\(=m^2-6m+9+4m-4=m^2-2m+5\)

\(=m^2-2m+1+4=\left(m-1\right)^2+4\ge4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m+3;x_1x_2=\frac{c}{a}=-m+1\)

\(P=x_1x_2-x_1^2-x_2^2\)

\(=x_1x_2-\left(x_1^2+x_2^2\right)\)

\(=x_1x_2-\left\lbrack\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right\rbrack=3x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2\)

\(=3\left(-m+1\right)-\left(-m+3\right)^2\)

\(=-3m+3-m^2+6m-9=-m^2+3m-6\)

\(=-\left(m^2-3m+6\right)\)

\(=-\left(m^2-3m+\frac94+\frac{15}{4}\right)=-\left(m-\frac32\right)^2-\frac{15}{4}\le-\frac{15}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-3/2=0

=>m=3/2

c: \(\left(x_1-3x_2\right)\cdot x_1+x_2^2\)

\(=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(=\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\right)-5x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(=\left(-m+3\right)^2-5\left(-m+1\right)\)

\(=m^2-6m+9+5m-5=m^2-m+4=m^2-m+\frac14+\frac{15}{4}\)

\(=\left(m-\frac12\right)_{}^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\forall m\)

=>\(T\le15:\frac{15}{4}=4\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m-\frac12=0\)

=>m=1/2

Bài 3:

a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(2m+1\right)\right\rbrack^2-4\left(3m^2-4\right)\)
\(=4\left(4m^2+4m+1\right)-4\left(3m^2-4\right)=4\left(4m^2+4m+1-3m^2+4\right)\)

\(=4\left(m^2+4m+5\right)=4\left(m+2\right)^2+4\ge4\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(P=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\)

\(=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(4m+2\right)^2-4\left(3m^2-4\right)=16m^2+16m+4-12m^2+16=4m^2+16m+16+4\)

\(=\left(2m+4\right)^2+4\ge4\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+2=0

=>m=-2

Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

                       `<=>[-(m+1)]^2-(m^2+4) >= 0`

                       `<=>m^2+2m+1-m^2-4 >= 0`

                       `<=>m >= 3/2`

Với `m >= 3/2`, áp dụng Vi-ét có:`{(x_1+x_2=[-b]/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=m^2+4):}`

Ta có:`C=x_1+x_2-x_1.x_2+3`

`<=>C=2m+2-m^2-4+3`

`<=>C=-m^2+2m+1`

`<=>C=-(m^2-2m+1)+2`

`<=>C=-(m-1)^2+2`

 Vì `-(m-1)^2 <= 0 AA m >= 3/2`

`<=>-(m-1)^2+2 <= 2 AA m >= 3/2`

Dấu "`=`" xảy ra`<=>(m-1)^2=0<=>m=1` (ko t/m)

Vậy không tồn tại `m` để `C` có `GTLN`

Xét \(\Delta=\text{​​}\)\(\left(-4m\right)^2-4\left(3m^2-3\right)\)\(=4m^2+12>0\forall m\)

=> Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m\\x_1x_2=3m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{2019}{\left|x_1-x_2\right|}\)\(\Leftrightarrow P^2=\dfrac{2019^2}{\left(x_1-x_2\right)^2}\)\(=\dfrac{2019^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\dfrac{2019^2}{16m^2-4\left(3m^2-3\right)}\)

\(=\dfrac{2019^2}{4m^2+12}\le\dfrac{2019^2}{12}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{2019}{\sqrt{12}}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{2019\sqrt{12}}{12}\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=0

Ta có:

\(\Delta'=b'^2-ac=m^2-\left(2m-1\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\)

Vậy phương trình trên luôn có 2 nghiệm x₁; x₂ với mọi giá trị của m

Áp dụng Viet, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2m\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(A=x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2\\ =x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\\ =\left(2m-1\right)\cdot\left(-2m\right)\\ =-4m^2+2m\\ =-\left[\left(2m\right)^2-2\cdot2m\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]+\frac{1}{4}\\ =-\left(2m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\forall m\)

Vậy Max A = \(\frac{1}{4}\Leftrightarrow2m-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\left(tm\right)\)

\(a)\) Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(\Delta'=\left(1-m\right)^2-m^2+3m=1-2m+m^2-m^2+3m=m+1>0\)\(\Leftrightarrow\)\(m>-1\)

Vậy để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(m>-1\)

\(b)\) Ta có : \(T=x_1^2+x_2^2-\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)

\(T=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(1-m\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)

Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(1-m\right)\\x_1x_2=m^2-3m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(T=4\left(1-m\right)^2-2\left(m^2-3m\right)-2\left(1-m\right)\left(1-m\right)+m^2-3m\)

\(T=4m^2-8m+4-2m^2+6m-2m^2+4m-2+m^2-3m\)

\(T=m^2-m+2=\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=\frac{1}{2}\) ( thoả mãn ) 

Vậy GTNN của \(T=\frac{7}{4}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)