Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
6) Ta có
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2xz+yz+2xy+zx+2yz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Ta có:
\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge2x.4y.6z=48xyz\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Thế vào A ta được:
\(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1^3+2^3+3^3}{\left(1+2+3\right)^2}=1\)
ÁP dụng BĐT Shwars có:
VT=\(\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
a) Áp dụng bài toán sau : a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a3 + b3 + c3 = 3abc
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}\)
Ta có : \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)
\(A=xyz.\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.3.\frac{1}{xyz}=3\)
b) x2 + y2 + z2 - xy - 3y - 2z + 4 = 0
4x2 + 4y2 + 4z2 - 4xy - 12y - 8z + 16 = 0
( 4x2 - 4xy + y2 ) + ( 3y2 - 12y + 12 ) + ( 4z2 - 8z + 4 ) = 0
( 2x - y )2 + 3 ( y - 2 )2 + 4 ( z - 1 )2 = 0
Ta có : ( 2x - y )2 \(\ge\)0 ; 3 ( y - 2 )2 \(\ge\)0 ; 4 ( z - 1 )2 \(\ge\)0
Mà ( 2x - y )2 + 3 ( y - 2 )2 + 4 ( z - 1 )2 = 0
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\y-2=0\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=1\end{cases}}}\)
Vậy ....
Nguyên việt hiếu tự đặng tự trả lời nice :))
ê hiếu t có 1 cách nhưng mà bị ngược dấu :)) có cần t làm ko :))))
Làm đi , mặc dù chả hiểu j
Áp dụng BĐT Cauchy-Schawarz ta có: \(3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)
Từ đó suy ra \(x^2+y^2+z^2\ge3\)tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy-Schawarz ta lại có:
\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schawarz và kết hợp với BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Hoàn toàn chứng minh ta được: \(2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Từ đó suy ra \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)nên giá trị nhỏ nhất của P = 1
I'm fine ")))) bạn hiền
sai rồi feed xong quit :))) 3(x^4+y^4+z^4) chắc chắn lơn hơn (x^2+y^2+z^2) vì (x,y.z) dương
M bị ngu à ?????????? Dùng cauchy kết hợp vs cái đó mới suy ra đc cái thứ 2 xúc vật
Ko t trình bày bị sai mới đúng Ta có: 3(x^4 + y^4 + z^4) lớn hơn ( x^2 = y^2 = z^2 ) rồi ms áp dụng cauchy
ko trình bày hoàn cảnh m sai là sai đừng có lí do , 1 là làm lại và xin lỗi
2 là xin lỗi và làm lại
Sai cái lờ ôn lôn huyền lộn Trình bày cho mik xem nào ns nhiều thế mai mình xem nha :")))))
m sai bét t thề m áp dụng bdt cô si kiểu l j vậy
m ghi là \(3\left(x^4+y^4+z^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)\) " bdt cosi
trong khi mày kết luận x=y=z=1
nó éo thỏa mãn nhé :))
ok t làm nhé :)) nhưng nói trc ngược dấu : ngược dấu chỗ nào thì m tự tìm
đặt đề bài
\(3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge9\sqrt[3]{\left(xyz\right)^4},7\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge21\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}.\)
\(0\ge9\sqrt[3]{\left(xyz\right)^4}-21\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}+12.\)
đặt xyz =t ta được
\(0\ge9\sqrt[3]{t^4}-21\sqrt[3]{t^2}+12\)
nhân 2 vế cho t^3 ta được
\(0\ge9t^4-21t^2+12t^3\) " đến đây dùng máy tính tìm nghiệm "
có 3 kết quả
\(t1=-\frac{7}{3}\)loại " vì x , y ,z dương"
\(t2=0\) loại
\(t3=1\) " thỏa mãn "
vậy \(T=1\Leftrightarrow xyz=1\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)}{3}\)
\(\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}\) " mà xyz = 1 " chứng minh trên "
ta suy ra \(P\ge1\)thỏa mãn
t thề m ko tìm ra được chỗ sai dấu của t