Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cô - si : a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)
=> x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( 1 )
y + z ≥ \(2\sqrt{yz}\) ( 2 )
x + z ≥ 2\(\sqrt{xz}\) ( 3 )
Nhân tưng vế của ( 1 , 2 , 3) , ta được :
( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ \(2\sqrt{xy}\) . \(2\sqrt{yz}\) .2 \(\sqrt{xz}\)
<=> ( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ 8 xyz
ta có (x+y)2 ≥ 4xy
(y+z)2≥ 4yz
(x+z)2≥4xz
nhân từng vế của bđt trên ta được
(x+y)2 (y+z)2 (x+z)2 ≥ 64 x2y2z2
=> [(x+y)(y+z)(x+z)]2≥ (8xyz)2
=>(x+y)(y+z)(x+z)≥ 8xyz(đpcm)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky như các bài trên ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
Mà $0< x+y+z\leq 6$ nên $\frac{9}{x+y+z}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d>0$
Bài 2:
Hoàn toàn tương tự bài 1
$S(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$ theo BĐT Bunhiacopxky
$\Leftrightarrow S.3\geq 9\Rightarrow S\geq 3$
Vậy GTNN của $S$ là $3$ khi $a=b=c=1$
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
a) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2xy+x^2+x^3y+y^2+y^3x\ge2\left(x^2+y^2+x^2y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
1.b
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-d\right)^2+\left(d-a\right)^2\ge0\) tong 4 so khong am luon dung
2 . ta có
\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
<=> x2-2xy+y2 ≥ 0
<=> x2+4xy-2xy+y2 ≥ 4xy
<=> x2+2xy+y2 ≥ 4xy
<=> (x+y)2 ≥ 4xy
CMTT
(y+z)2 ≥ 4yz
(z+x)2 ≥ 4zx
nhân các vế của bđt ta có
[(x+y)(y+z)(z+x)]2 ≥ 64x2y2z2
<=> (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz
Mình sửa lại đề nhé:
\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\le\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)
Dễ dàng chứng minh được: \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\frac{x}{x^2+1}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Tương tự, ta cũng có: \(\frac{y}{y^2+1}\le\frac{1}{2};\frac{z}{z^2+1}\le\frac{1}{2}\)
Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được ĐPCM.
Ta chứng minh BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
BĐT này đúng với \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\), ta được:
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}\ge\frac{3}{2}\)