Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Ta có: \(9(x-1)^2-4(2x+3)^2=(3x-3)^2-(4x+6)^2\)
\(=(3x-3-4x-6)(3x-3+4x+6)=-(x+9)(7x+3)\)
Bài 2:
Có: \(x^2-x+\frac{9}{20}=x^2-2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{5}\)
Ta thấy \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x^2-x+\frac{9}{20}\geq \frac{1}{5}>0\forall x\in\mathbb{R}\)
Ta có đpcm.
Bài 3:
Thực hiện phân tích:
\(f(x)=x^3-8x^2+ax-5=x(x^2-3x+1)-5(x^2-3x+1)+ax-16x\)
\(=(x-5)(x^2-3x+1)+ax-16x\)
Thấy rằng bậc của \(ax-16x\) nhỏ hơn bậc của $g(x)$ nên $ax-16x$ là dư của $f(x)$ cho $g(x)$
Để \(f(x)\vdots g(x)\Rightarrow ax-16x=0\forall x\Rightarrow a=16\)
Bài 4:
Để \(\overline{2017x}\vdots 12\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overline{2017x}\vdots 3(1)\\ \overline{2017x}\vdots 4(2)\end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow 2+0+1+7+x\vdots 3\Leftrightarrow 10+x\vdots 3\Leftrightarrow x+1\vdots 3\)
\((2)\Leftrightarrow \overline{7x}\vdots 4\Rightarrow x\in\left\{2;6\right\}\)
Từ hai điều trên suy ra \(x=2\)
Bài 5:
Ta có: \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{2017}\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=2017\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=2017\)
\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2015\)
Như vậy: \(A=3x^2-5+\frac{3}{x^2}=3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5=3.2015-5=6040\)
Bài 6:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x+y+z=a\\ xy+yz+xz=b\end{matrix}\right.\). ĐKĐB tương đương với:
\(\left\{\begin{matrix} a^2-2b=3\\ a+b=6\rightarrow b=6-a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-2(6-a)=3\Leftrightarrow a^2-2a+15=0\Leftrightarrow (a+5)(a-3)=0\Leftrightarrow a=3\)
(do \(a\in\mathbb{R}^+\))
Kéo theo \(b=6-a=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
Theo BĐT AM-GM thì \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow x=y=z=1\) do \(x+y+z=3\)
Lấy điểm O trong ΔABC sao cho \(\hat{AOB}=\hat{BOC}=\hat{AOC}=120^0\)
Đặt OA=x; OB=y; OC=z
Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)
=>\(x^2+y^2-AB^2=2\cdot x\cdot y\cdot\frac{-1}{2}=-xy\)
=>\(AB^2=x^2+y^2+xy=1\)
=>AB=1
Xét ΔOAC có \(cosAOC=\frac{OA^2+OC^2-AC^2}{2\cdot OA\cdot OC}\)
=>\(x^2+z^2-AC^2=2\cdot x\cdot z\cdot cos120=-xz\)
=>\(AC^2=x^2+z^2+xz=\frac34\)
=>\(AC=\frac{\sqrt3}{2}\)
Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)
=>\(\frac{y^2+z^2-BC^2}{2\cdot y\cdot z}=cos120=-\frac12\)
=>\(y^2+z^2-BC^2=-yz\)
=>\(BC^2=y^2+z^2+yz=\frac14\)
=> BC=1/2
Vì \(CA^2+CB^2=AB^2\)
nên ΔCAB vuông tại C
=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}xy\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}yz\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}xz\sin(120^\circ)\)
=>\(S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}(xy + yz + xz)\)
=>\(\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+xz)=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
=>\(xy+yz+xz=\frac{1}{2}\)
\((x^2 + xy + y^2) + (y^2 + yz + z^2) + (x^2 + xz + z^2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\)
=>\(2(x^2 + y^2 + z^2) + (xy + yz + xz) = 2\)
=>\(2(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=2\)
=>\(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{4}\)
\((x + y + z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + xz)\)
\(=\frac34+2\cdot\frac12=\frac74\)
=>\(x+y+z=\frac{\sqrt7}{2}\)
=>\(B=\frac{\sqrt7}{2}\)