a) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2xy+x^2+x^3y+y^2+y^3x\ge2\left(x^2+y^2+x^2y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

tho nhu hut thuoc

bai thi .....................kho..........................kho..............troi.................thilanh.............................ret..................wa.........................dau................wa......................tich....................ung.....................ho.....................cho............do.................lanh...............tho...................bang..................mom...................thi...................nhu..................hut.....................thuoc................la.................lanh wa

Ta có 1+x²+1+y²=2+x²+y²,2/1+xy=2+xy. Do 2=2 nên ta cần so sánh x²+y² với xy với x,y>=1 và x,y thuộc R.

Già sử x<y thì xy<y² và y²<x²+y² nên xy<x²+y² (1)

Giả sử x>y thì xy<x²và x²<x²+y²nên xy<x²+y²(2)

Giả sử x=y thì xy=x²=y² và x²<x²+y² nên xy<x²+y²(3)

Kết hợp 1,2,3 suy ra xy luôn bé hơn x²+y² . Suy ra đpcm

Phuc Trran Tại sao 2/1+xy=2+xy

hình như bạn chép sai đề vì kết quả của vế trái mà tôi ra là: 2/căn bậc hai(3x +y) còn vế kia 2/căn x+căn y và mẫu của vế trái lại lớn hơn mẫu của vế phải và tử của 2 vế bằng nhau =>phân số vế trái bé hơn phân số của vế phải 

=>tôi không thể chứng minh được

CM cái sau: 

Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)

Chứng minh: 

\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

(áp dụng vào cái trên)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)

Ta có: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+y^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

BĐT cuối đúng vì x.y > 0 => đpcm

có vẻ viết nhầm Bước2

Ta có: 

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}\)

\(=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\) với mọi x y >0

Vì x, y >0 => \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\) mà \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\)

=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2>\frac{1}{2}\)với mọi x, y >0

"=" xảy ra <=> x =y

Em kiểm tra lại đề bài nha.