ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{BAD}+\hat{ADC}=180^0\) ; \(\hat{BAD}+\hat{ABC}=180^0\) ; \(\hat{ADC}+\hat{BCD}=180^0\) ; \(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\)

AN là phân giác ngoài tại đỉnh A

=>\(\hat{DAN}=\frac{180^0-\hat{DAB}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{DAB}\)

DN là phân giác ngoài tại đỉnh D

=>\(\hat{NDA}=\frac{180^0-\hat{ADC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{ADC}\)

AM là phân giác ngoài tại đỉnh A

=>\(\hat{MAB}=\frac{180^0-\hat{BAD}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAD}\)

BM là phân giác ngoài tại đỉnh B

=>\(\hat{MBA}=\frac{180^0-\hat{ABC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{ABC}\)

CQ là phân giác ngoài tại đỉnh C

=>\(\hat{QCB}=\frac{180^0-\hat{BCD}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{BCD}\)

BQ là phân giác ngoài tại đỉnh B

=>\(\hat{QBC}=\frac{180^0-\hat{ABC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{ABC}\)

\(\hat{NAD}+\hat{NDA}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAD}+90^0-\frac12\cdot\hat{ADC}=180^0-\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ADC}\right)\)

\(=180^0-\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔNAD vuông tại N

=>NA⊥ND

=>MN⊥NP

\(\hat{MAB}+\hat{MBA}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAD}+90^0-\frac12\cdot\hat{ABC}\)

\(=180^0-\frac12\cdot\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)=180^0-\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

\(\hat{QBC}+\hat{QCB}=90^0-\frac12\cdot\hat{ABC}+90^0-\frac12\cdot\hat{BCD}\)

\(=180^0-\frac12\left(\hat{ABC}+\hat{BCD}\right)=180^0-\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔQBC vuông tại Q

=>QB⊥QC

Xét tứ giác MNPQ có \(\hat{MNP}=\hat{NMQ}=\hat{MQP}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

tgiác ABC có MN là đường trung bình => MN // AC và MN = AC/2
tgiác DAC có PQ là đường trung bình => PQ // AC và PQ = AC/2
vậy: MN // PQ và MN = PQ => MNPQ là hình bình hành

mặt khác xét tương tự cho hai tgiác ABD và CBD ta cũng có:
NP // BD và NP = BD/2
do giả thiết AC_|_BD => AC_|_NP mà MN // AC => MN_|_NP

tóm lại MNPQ là hình chữ nhật (hbh có một góc vuông)

b) MNPQ là hình vuông <=> MN = NP <=> AC/2 = BD/2 <=> AC = BD
vậy điều kiện là: tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau
c, Vỳ Mn là đườq trung bình của tam giác ABC nên MN= \(\frac{1}{2}\) AC= 3cm

QM là đường trung bình của tam giác ABD nên QM = \(\frac{1}{2}\) BD = 4cm

Mà MNPQ là hình chữ nhật nên diện tích ABCD = ( MN+PQ).2= (3.4):2 = 6cm

Bạn ơi lẽ ra chỗ diện tích hcn là phải bằng = 3 . 4 = 12cm chứ nhỉ bạn

Xét ΔBAC có M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình

=>MN//AC và MN=AC/2

Xét ΔDAC có

Q,P lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>QP là đường trung bình

=>QP//AC và QP=AC/2

=>MN//PQ và MN=PQ

Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD

nên MQ//BD

=>MQ vuông góc AC

mà MN//AC

nên MQ vuông góc MN

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

mà góc QMN=90 độ

nên MNPQ là hình chữ nhật

A B C D

Gọi góc ngoài của bốn góc A,B,C,D lần lượt là ; A₁ , B₁ , C₁ . D₁ 

Khi đó : A + A₁ = 180^o (hai góc kề bù)

            B + B₁ = 180^o (hai góc kề bù)

            C + C₁ = 180^o (hai góc kề bù)

            D + D₁ = 180^o (hai góc kề bù)

Nên : A + B + C + D + A₁ + B₁ + C₁ + D₁ = 180^o x 4 = 720^o

Mà : A + B + C + D = 360^o 

Suy ra : A₁ + B₁ + C₁ + D₁ = 720^o - 360^o

=> A₁ + B₁ + C₁ + D₁ = 360^o

Mà : A₁ = 35^o ; B₁ = 55^o ; C₁ = 40^o

Nên : D₁ = 360^o - 35^o - 55^o - 40^o = 130^o

\(\sqrt[]{}\)

2000 đồng thẳng tiến cho cô ngân(h.vi) nha   ( ^_^)