Xét ΔABD có P,N lần lượt là trung điểm của BA và BD

nên PN là đường trung bình

=>PN//AD và PN=AD/2(1)

Xét ΔACD có M,Q lần lượt là trung điểm của CA và CD

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//AD và MQ=AD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra PN//MQ và PN=MQ

=>MPNQ là hình bình hành

Xét ΔABC có P,M lần lượt là trung điểm của AB và AC

nên PM là đường trung bình

=>PM=BC/2=AD/2=PN

=>MPNQ là hình thou

=>PQ là trung trực của MN

Kẻ đường chéo MP và NQ

Trong  △ MNP ta có:

X là trung điểm của MN

Y là trung điểm của NP

nên XY là đường trung bình của  △ MNP

⇒ XY // MP và XY = 1/2 MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong  △ QMP ta có:

T là trung điểm của QM

Z là trung điểm của QP

nên TZ là đường trung bình của  △ QMP

⇒ TZ // MP và TZ = 1/2 MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.

Trong △ MNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = 1/2 QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

S X Y Z T  = 1/2 XZ. TY

mà XZ = MQ = 1/2 BD = 1/2. 8 = 4 (cm);

TY = MN = 1/2 AC = 1/2 .6 =3 (cm)

Vậy : S X Y Z T  = 1/2. 3. 4 = 6( c m 2 )

Trong  △ ABD ta có:

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của  △ ABD.

⇒ MQ // BD và MQ = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong  △ CBD ta có:

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

nên NP là đường trung bình của  △ CBD

⇒ NP // BD và NP = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

AC ⊥ BD (gt)

MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ

Trong △ ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay (NMQ) = 90 0

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.