A B C D O 70 0 M N P Q

Qua 4 đỉnh A,B,C,D của tứ giác ABCD đã cho, dựng các đường thẳng song song với 2 đường chéo AC,BD. Chúng cắt nhau tại 4 điểm M,N,P,Q. Khi đó ta có tứ giác MNPQ,AOBM,AODN,DOCP,BOCQ là các hình bình hành.

Suy ra MQ = NP = AC = 5,3 (cm), MN = PQ = BD = 4 (cm)

Đồng thời ^MNP = ^MQP = ^AOD = 70⁰ (Các góc có 2 cạnh tương ứng song song)

Ta cũng có S_AOD = S_AND = S_AODN/2. Từ đó S_ABCD = S_MNPQ/2 = S_MQP = S_MNP

Xét \(\Delta\)MNP: MN = 4, NP = 5,3, ^MNP = 70⁰ 

Có S_MNP = 1/2.MN.NP.Sin^MNP = 4.5,3.Sin70⁰ \(\approx\)19,9 (cm²) => S_ABCD\(\approx\)19.9 (cm²)

Kết luận: ...

Cho mik sửa tí: S_ABCD = S_MNP = 1/2.MN.NP.Sin^MNP = 1/2.4.5,3.Sin70⁰ \(\approx\)10,0 (cm²)

Vậy S_ABCD \(\approx\)10,0 cm².

Xét ΔBAD có BO là phân giác

nên \(\frac{OA}{OD}=\frac{BA}{BD}\)

Xét ΔCBE có CO là phân giác

nên \(\frac{OB}{OE}=\frac{CB}{CE}\)

Xét ΔAFC có AO là phân gíac

nên \(\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{CD}\)

=>\(\frac{OA}{OD}=\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{CD}\)

Xét ΔABC có BE là phân giác

nên \(\frac{CB}{CE}=\frac{BA}{AE}\)

=>\(\frac{OB}{OE}=\frac{CB}{CE}=\frac{BA}{AE}\)

Xét ΔABC có CF là phân giác

nên \(\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}\)

=>\(\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}\)

Đặt X=\(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\)

\(=\frac{BA}{BD}\cdot\frac{BC}{CE}\cdot\frac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}=\frac{9}{12}=\frac34\)

=>\(\frac{BD}{DC+BD}=\frac{3}{4+3}\)

=>\(\frac{BD}{BC}=\frac37\)

=>\(BD=16\cdot\frac37=\frac{48}{7}\) (cm)

Xét ΔABC có BE làphân giác

nên \(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=\frac{16}{9}\)

=>\(\frac{EC}{EA+EC}=\frac{16}{9+16}\)

=>\(\frac{CE}{CA}=\frac{16}{25}\)

=>\(CE=12\cdot\frac{16}{25}=\frac{192}{25}\) (cm)

Xét ΔABC có CF là phân giác

nên \(\frac{AF}{FB}=\frac{CA}{CB}=\frac{12}{16}=\frac34\)

=>\(\frac{AF}{FB+AF}=\frac{3}{4+3}\)

=>\(\frac{AF}{AB}=\frac37\)

=>\(AF=9\cdot\frac37=\frac{27}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(X=\frac{BA}{BD}\cdot\frac{BC}{CE}\cdot\frac{AC}{AF}\)

\(=\left(9:\frac{48}{7}\right)\cdot\left(16:\frac{192}{25}\right)\) *\(\left(12:\frac{27}{7}\right)\)

\(=9\cdot\frac{7}{48}\cdot16\cdot\frac{25}{192}\cdot12\cdot\frac{7}{27}=9\cdot\frac73\cdot\frac{25}{192}\cdot4\cdot\frac79=7\cdot7\cdot25\cdot\frac{4}{192\cdot3}=49\cdot25\cdot\frac{1}{48\cdot3}=\frac{1225}{144}\)

AB-BC<AC<AB+BC và DA-CD<AC<DA+CD

=>2<AC<18 và 16<AC<39

=>AC=17cm

BC-CD<BD<BC+CD và DA-AB<BD<DA+AB

=>3<BD<13 và 11<BD<21

=>BD=12cm

Tự vẽ hình nha ><

a) ^ABD = 90⁰ => ^ABE = 90⁰

EF \(\perp\)AD => ^EFA = 90⁰

=> Tứ giác ABEF có tổng 2 góc đối = 90⁰ nội tiếp được đường tròn