a.

E và F là trung điểm AB và CD nên: \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}\) ; \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DF}\)

G là trung điểm EF nên: \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AG}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DF}\)

\(=2\overrightarrow{AE}+2\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}\right)=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AF}=2\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)=4\overrightarrow{AG}\)

b.

\(\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

c.

Từ câu b ta có:

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)

Lời giải:

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$
$\Rightarrow MN\parallel BC$ và $MN=\frac{1}{2}BC$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Mà:

$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ do $P$ là trung điểm $BC$

Do đó: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BP}$

---------------------------

Dễ chứng minh $NP$ là đường trung bình ứng với cạnh $AB$

$\Rightarrow \overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

Mà $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

Vậy: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{PN}$

bài 1

a CO-OB=BA

<=.> CO = BA +OB

<=> CO=OA ( LUÔN ĐÚNG )=>ĐPCM

b AB-BC=DB

<=> AB=DB+BC

<=> AB=DC(LUÔN ĐÚNG )=> ĐPCM

Cc DA-DB=OD-OC

<=> DA+BD= OD+CO

<=> BA= CD (LUÔN ĐÚNG )=> ĐPCM

d DA-DB+DC=0

VT= DA +BD+DC

= BA+DC

Mà BA=CD(CMT)

=> VT= CD+DC=O

BÀI 2

AC=AB+BC

BD=BA+AD

=> AC+BD= AB+BC+BA+AD=BC+AD (đpcm)

a: Sửa đề: O là trung điểm của IJ

Xét ΔOAB có OI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OI}\)

Xét ΔOCD có OJ là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\cdot\overrightarrow{OJ}\)

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{OI}+2\cdot\overrightarrow{OJ}=2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}\right)=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)

\(=4\cdot\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=4\cdot\overrightarrow{MO}\)

c: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{IJ}+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{JC}\right)=2\cdot\overrightarrow{IJ}\)

a: ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

O là trung điểm của AC

=>\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)

O là trung điểm của BD

=>\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

b: ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}\)

=>\(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

c: \(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)

d: Xét ΔMAC có MO là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\cdot\overrightarrow{MO}\) (1)

Xét ΔMBD có MO là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\cdot\overrightarrow{MO}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)