a; ABCD là hình thoi

=>AC là phân giác của góc BAD; CA là phân giác của góc BCD; AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD; AB=BC=CD=DA; BD là phân giác của góc ABC và DB là phân giác của góc ADC

Xét tứ giác AMIN có

AM//IN

AN//IM

Do đó: AMIN là hình bình hành

Hình bình hành AMIN có AI là phân giác của góc MAN

nên AMIN là hình thoi

Xét tứ giác CPIQ có

CP//IQ

CQ//IP

Do đó: CPIQ là hình bình hành

Hình bình hành CPIQ có CI là phân giác của góc PCQ

nên CPIQ là hình thoi

b: O là trung điểm của BD

=>\(BO=OD=\frac{BD}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAOB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(OA^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>OA=4(cm)

O là trung điểm của AC

=>\(AC=2\cdot AO=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔBAC có BO là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BO\cdot AC=\frac12\cdot8\cdot3=\frac{24}{2}=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: AMIN là hình thoi

=>IM=IN

CPIQ là hình thoi

=>IP=IQ

Xét ΔIMN và ΔIPQ có

\(\frac{IM}{IP}=\frac{IN}{IQ}\)

\(\hat{MIN}=\hat{PIQ}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMN~ΔIPQ

=>\(\hat{IMN}=\hat{IPQ}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên MN//PQ

=>MNPQ là hình thang

MP=MI+IP

NQ=NI+IQ

mà MI=NI và IP=IQ

nên MP=NQ

=>MNPQ là hình thang cân

   a) *) Chứng minh AMNB là hình bình hành:

Do O là giao điểm của AC và BD

Mà ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ O là trung điểm của AC và BD

Do MN // AB (gt)

⇒ OM // CD

∆ACD có

O là trung điểm AC

OM // CD

⇒ M là trung điểm AD

⇒ AM = AD : 2   (1)

Do MN // AB (gt)

⇒ ON // AB

∆ABC có:

O là trung điểm AC (cmt)

ON // AB (cmt)

⇒ N là trung điểm BC

⇒ BN = BC : 2   (2)

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AD // BC

⇒ AM // BN

Từ (1) và (2) ⇒ AM = BN

Tứ giác AMNB có:

AM // BN (cmt)

AM = BN (cmt)

⇒ AMNB là hình bình hành

*) Chứng minh APCQ là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD

⇒ AP // CQ

Tứ giác APCQ có:

AP // CQ (cmt)

AP = CQ (gt)

⇒ APCQ là hình bình hành

c) Do O là trung điểm AC (cmt)

M là trung điểm AD (cmt)

⇒ OM là đường trung bình của ∆ACD

⇒ OM = CD : 2   (3)

Do O là trung điểm AC (cmt)

N là trung điểm BC (cmt)

⇒ ON là đường trung bình của ∆ABC

⇒ ON = AB : 2

Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

⇒ OM = ON

⇒ O là trung điểm MN

Do APCQ là hình bình hành (cmt)

O là trung điểm AC (cmt)

⇒ O là trung điểm PQ

Tứ giác MPNQ có:

O là trung điểm MN (cmt)

O là trung điểm PQ (cmt)

⇒ MPNQ là hình bình hành

⇒ MP // NQ và MQ = NP

a: ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

IM//AC

AC⊥BD

Do đó: IM⊥BD tại E

Xét tứ giác OEIK có \(\hat{OEI}=\hat{OKI}=\hat{KOE}=90^0\)

nên OEIK là hình chữ nhật

b: MI//AC

=>\(\hat{DIM}=\hat{DCA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DIM}=45^0\)

Xét ΔDIM vuông tại D có \(\hat{DIM}=45^0\)

nên ΔDIM vuông cân tại D

=>DI=DM

Ta có: DI+IC=DC

DM+MA=DA

mà DI=DM và DC=DA

nên IC=MA

Xét ΔCNI có

CO là đường cao

CO là đường phân giác

Do đó: ΔCNI cân tại C

=>CN=CI

mà CI=MA

nên MA=CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN

=>M,O,N thẳng hàng

a: ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

IM//AC

AC⊥BD

Do đó: IM⊥BD tại E

Xét tứ giác OEIK có \(\hat{OEI}=\hat{OKI}=\hat{KOE}=90^0\)

nên OEIK là hình chữ nhật

b: MI//AC

=>\(\hat{DIM}=\hat{DCA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DIM}=45^0\)

Xét ΔDIM vuông tại D có \(\hat{DIM}=45^0\)

nên ΔDIM vuông cân tại D

=>DI=DM

Ta có: DI+IC=DC

DM+MA=DA

mà DI=DM và DC=DA

nên IC=MA

Xét ΔCNI có

CO là đường cao

CO là đường phân giác

Do đó: ΔCNI cân tại C

=>CN=CI

mà CI=MA

nên MA=CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN

=>M,O,N thẳng hàng

a: ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

IM//AC

AC⊥BD

Do đó: IM⊥BD tại E

Xét tứ giác OEIK có \(\hat{OEI}=\hat{OKI}=\hat{KOE}=90^0\)

nên OEIK là hình chữ nhật

b: MI//AC

=>\(\hat{DIM}=\hat{DCA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DIM}=45^0\)

Xét ΔDIM vuông tại D có \(\hat{DIM}=45^0\)

nên ΔDIM vuông cân tại D

=>DI=DM

Ta có: DI+IC=DC

DM+MA=DA

mà DI=DM và DC=DA

nên IC=MA

Xét ΔCNI có

CO là đường cao

CO là đường phân giác

Do đó: ΔCNI cân tại C

=>CN=CI

mà CI=MA

nên MA=CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN

=>M,O,N thẳng hàng

a: ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

IM//AC

AC⊥BD

Do đó: IM⊥BD tại E

Xét tứ giác OEIK có \(\hat{OEI}=\hat{OKI}=\hat{KOE}=90^0\)

nên OEIK là hình chữ nhật

b: MI//AC

=>\(\hat{DIM}=\hat{DCA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DIM}=45^0\)

Xét ΔDIM vuông tại D có \(\hat{DIM}=45^0\)

nên ΔDIM vuông cân tại D

=>DI=DM

Ta có: DI+IC=DC

DM+MA=DA

mà DI=DM và DC=DA

nên IC=MA

Xét ΔCNI có

CO là đường cao

CO là đường phân giác

Do đó: ΔCNI cân tại C

=>CN=CI

mà CI=MA

nên MA=CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN

=>M,O,N thẳng hàng

a: ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

IM//AC

AC⊥BD

Do đó: IM⊥BD tại E

Xét tứ giác OEIK có \(\hat{OEI}=\hat{OKI}=\hat{KOE}=90^0\)

nên OEIK là hình chữ nhật

b: MI//AC

=>\(\hat{DIM}=\hat{DCA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{DIM}=45^0\)

Xét ΔDIM vuông tại D có \(\hat{DIM}=45^0\)

nên ΔDIM vuông cân tại D

=>DI=DM

Ta có: DI+IC=DC

DM+MA=DA

mà DI=DM và DC=DA

nên IC=MA

Xét ΔCNI có

CO là đường cao

CO là đường phân giác

Do đó: ΔCNI cân tại C

=>CN=CI

mà CI=MA

nên MA=CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN

=>M,O,N thẳng hàng