Bài này lạ quá. Hình vẽ là một tứ giác lõm.

Mình hướng dẫn ngắn gọn lời giải

a, Hai tam giác trên bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh

b, Có góc QMN = 80 độ

=> \(\widehat{PMQ}=\widehat{QMN}=\frac{360^o-80^o}{2}=140^o\)

CÓ: \(\widehat{QPM}=\widehat{MPN=\frac{60^o}{2}}=30^o\)

Xét tam giác PMQ biết góc PMQ =140 độ, góc PQM = 30 độ

=> Góc PQM = 10 độ

Mà góc PQM = góc PNM => Góc PNM = 10 độ

d, Xét tam giác QPM cân ở P ( PQ = PN)

=> Đường phân giác PM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng NQ

e, Xét tam giác PQM có QN là đường trung trực của PM

=> Tam giác PQM cân ỏ Q => QP=PN=QM

Mà QM =MN

=> Tứ giác MNQP có 4 cạnh bằng nhau.

A B C D M N F E G H I K

Gọi G,H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,AC. Giao điểm của MG và NH là I.

Ta thấy \(\Delta\)CDN cân tại N có H là trung điểm cạnh CD => NH vuông góc CD => IH vuông góc CD

Mà EK là đường trung bình trong \(\Delta\)ACD nên IH vuông góc EK (1)

Dễ dàng chứng minh tứ giác EHFG là hình thoi => EF vuông góc GH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^IHG = ^KEF (Vì 2 góc này cùng phụ với góc hợp bởi EF và IH)

Tương tự ^IGH = ^KFE. Từ đó \(\Delta\)GIH ~ \(\Delta\)FKE (g.g) => \(\frac{IG}{IH}=\frac{KF}{KE}=\frac{AB}{CD}=\frac{BG}{CH}\)

Ta lại có \(\Delta\)MGB ~ \(\Delta\)NHC (g.g)  => \(\frac{BG}{CH}=\frac{MG}{NH}\). Do vậy \(\frac{IG}{IH}=\frac{MG}{NH}\)

Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)MIN ta được GH // MN

Mà EF vuông góc GH (cmt) nên EF vuông góc MN (đpcm).

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(CP=PD=\frac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=CP=PD

Ta có: \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

\(AQ=QD=\frac{AD}{2}\)

mà BC=AD

nên BN=NC=AQ=QD

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔDAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>PQ là đường trung bình của ΔDAC

=>PQ//AC và \(PQ=\frac{AC}{2}\)

XétΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

MN//AC

PQ//AC

Do đó: MN//PQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(PQ=\frac{AC}{2}\)

Do đó: MN=PQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(MQ=\frac{BD}{2}\)

mà AC=BD

nên MN=MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MN=MQ

nên MNPQ là hình thoi

b: Xét tứ giác AMCP có

AM//CP

AM=CP

Do đó: AMCP là hình bình hành

=>AC cắt MP tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,BD,MP,NQ đồng quy

c: Xét tứ giác AMPD có

AM//PD

AM=PD

Do đó: AMPD là hình bình hành

=>MP=AD

Xét tứ giác ABNQ có

AQ//BN

AQ=BN

Do đó: ABNQ là hình bình hành

=>AB=NQ

MNPQ là hình thoi

=>\(S_{MNPQ}=\frac12\cdot NQ\cdot MP=\frac12\cdot AB\cdot AD=\frac12\cdot S_{ABCD}\)

=>\(\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}=\frac12\)