Đặt \(a=\hat{A};b=\hat{B};c=\hat{C};d=\hat{D}\)

Theo đề, ta có: a:b:c:d=2:3:4:3

=>\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{d}{3}\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>a+b+c+d=360

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{d}{3}=\frac{a+b+c+d}{2+3+4+3}=\frac{360^0}{12}=30^0\)

=>\(\begin{cases}a=30^0\cdot2=60^0\\ b=30^0\cdot3=90^0\\ c=30^0\cdot4=120^0\\ d=30^0\cdot3=90^0\end{cases}\)

=>\(\hat{A}=60^0;\hat{B}=90^0;\hat{C}=120^0;\hat{D}=90^0\)

Dễ thấy AB=BC=CD=DE

và \(ABC\ge CDE=>AC\ge CE\)

Tam giác ACE có \(AC\ge CE=>AEC\ge CAE\left(1\right)\)

\(ABC\ge CDE=>\frac{180^0-B}{2}\le\frac{180^0-D}{2}=>BAC\le CED=>CED\ge BAC\left(2\right)\)

Cộng theo vế (1) và (2)

\(AEC+CED\ge CAE+BAC=>E\ge A,mà.E\le A=>E=A\)

Vậy \(A=B=C=D=E\),mà ngũ giác ABCDE có các cạnh = nhau nên là ngũ giác đều

trên tia đối của tia BA lấy điểm B' sao cho góc BB'C=gócADC

tam giác AB'C có :BAC+AB'C+ACB'=180 độ

tam giác ACD có:DAC+D+ACD=180 độ

=>ACB'=ACD

xét tam giác AB'C và tam giác ADC có

B'AC=DAC

AC là cạnh chung

ACB'=ACD

do đó tam giác AB'C= tam giác ADC(g-c-g)

=>DC=B'C(2 cạnh tương ứng)(1)

ta có ABC+D=180 độ (gt)

ABC+B'BC=180 độ(kề bù)

=>góc D=B'BC

mà góc AB'C=D(tam giác AB'C=tam giác ADC)

=>góc B'BC=AB'C(= góc D)

=>tam giác BB'C cân tại C

=>BC=B'C(2)

từ (1) và (2) suy ra :

BC=DC( dpcm)

a: Ta có: \(\hat{B}+\hat{C}=200^0;\hat{B}+\hat{D}=180^0\)

=>\(\hat{B}+\hat{C}-\hat{B}-\hat{D}=200^0-180^0\)

=>\(\hat{C}-\hat{D}=20^0\)

mà \(\hat{C}+\hat{D}=120^0\)

nên \(\hat{C}=\frac{20^0+120^0}{2}=70^0;\hat{D}=120^0-70^0=50^0\)

\(\hat{B}+\hat{C}=200^0\)

=>\(\hat{B}=200^0-70^0=130^0\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>\(\hat{A}=360^0-130^0-70^0-50^0=110^0\)

b: AI là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{IAB}=\frac12\cdot\hat{BAD}\)

BI là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{IBA}=\frac12\cdot\hat{ABC}\)

\(\hat{IAB}+\hat{IBA}=\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)\)

\(=\frac12\left(360^0-\hat{BCD}-\hat{ADC}\right)=180^0-\frac12\cdot\left(\hat{BCD}+\hat{ADC}\right)\)

Xét ΔIAB có \(\hat{IAB}+\hat{IBA}+\hat{AIB}=180^0\)

=>\(\hat{AIB}+180^0-\frac12\cdot\left(\hat{BCD}+\hat{ADC}\right)=180^0\)

=>\(\hat{AIB}=\frac12\left(\hat{BCD}+\hat{ADC}\right)\)