Bài 1:

a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD

Bài 3:

Gọi O là giao điểm AD và BC.

Ta có $\hat{C}+\stackrel{⌢}{D}={90}^0$ nên $\hat{O}={90}^0$

Áp dụng định lí Py – ta – go,

Ta có 

$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2.$

$B{D}^2=O{B}^2+O{D}^2$

Nên $A{C}^2+B{D}^2=\left(O{A}^2+O{B}^2\right)+\left(O{C}^2+O{D}^2\right)=A{B}^2+$

Bài 1: 

Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 

Xét tam giác AEB ta có: AE + BE > AB (trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Xét tam giác DEC ta có: DE + CE > DC (trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Cộng vế với vế ta có: AE + BE + DE + CE > AB + DC 

                                  (AE + CE) + (BE + DE) > AB + DC

                                     AC + BD > AB + DC 

Tương tự ta có AC + BD > AD + BC 

Kết luận: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo luôn lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Nửa chu vi của tứ giác ABCD là: \(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Theo chứng minh trên ta có:

 \(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)< \(\dfrac{\left(AB+CD\right)\times2}{2}\) = AB + CD (1)

Vì trong một tam giác tổng hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại nên ta có:

AB + AD > BD 

AB + BC > AC

BC + CD > BD 

CD + AD > AC 

Cộng vế với vế ta có:

(AB + BC + CD + DA)\(\times\)2 > (BD + AC ) \(\times\) 2

⇒AB + BC + CD + DA > BD + AC  (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

Tổng hai đường chéo của tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác

Bài 2:

a: Số đo góc C là: \(180^0-60^0=120^0\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>\(\hat{B}=360^0-70^0-80^0-120^0=90^0\)

b: Xét ΔABC có AB+BC>AC

Xét ΔADC có AD+DC>AC

Xét ΔBAD có BA+AD>BD

Xét ΔBCD có CB+CD>BD

Do đó: AB+BC+AD+DC+BA+AD+CB+CD>AC+AC+BD+BD

=>2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA>AC+BD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB có OA+OB>AB

Xét ΔOCD có OC+OD>CD

Do đó: OA+OB+OC+OD>AB+CD

=>AC+BD>AB+CD

Xét ΔOAD có OA+OD>AD

Xét ΔOBC có OB+OC>BC

Do đó: OA+OD+OB+OC>AD+BC

=>AC+BD>AD+BC

Bài 3:

Gọi O là giao điểm của AD và BC

Xét ΔODC có \(\hat{ODC}+\hat{OCD}=90^0\)

nên ΔODC vuông tại O

=>AD⊥BC tại O

ΔOAC vuông tại O

=>\(OA^2+OC^2=AC^2\)

ΔOBD vuông tại O

=>\(OB^2+OD^2=BD^2\)

Do đó: \(AC^2+BD^2=OA^2+OC^2+OB^2+OD^2\) (1)

ΔOAB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

ΔOCD vuông tại O

=>\(OC^2+OD^2=CD^2\)

Do đó: \(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=AB^2+CD^2\)

=>\(AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(AC^2+BD^2=AB^2+CD^2\)

Bài 1: Gọi tứ giác cần tìm là tứ giác ABCD.

a: Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB có OA+OB>AB

Xét ΔOCD có OC+OD>CD

Do đó: OA+OB+OC+OD>AB+CD

=>AC+BD>AB+CD(2)

Xét ΔOAD có OA+OD>AD

Xét ΔOBC có OB+OC>BC

Do đó: OA+OD+OB+OC>AD+BC

=>AC+BD>AD+BC(1)

b: (1),(2) suy ra 2(AC+BD)>AB+CD+AD+BC

=>\(AC+BD>\frac12\left(AB+BC+CD+DA\right)=\frac12\cdot C_{ABCD}\) (3)

Xét ΔABC có AB+BC>AC

Xét ΔADC có AD+DC>AC

Xét ΔBAD có BA+AD>BD

Xét ΔBCD có CB+CD>BD

Do đó: AB+BC+AD+DC+BA+AD+CB+CD>AC+AC+BD+BD

=>2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA>AC+BD

=>\(C_{ABCD}>AC+BD\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(C_{ABCD}>AC+BD>\frac{C_{ABCD}}{2}\)

Bài 1) 

Trên AD lấy E sao cho AE = AB 

Xét ∆ACE và ∆ACB ta có : 

AC chung 

DAC = BAC ( AC là phân giác) 

AB = AE (gt)

=> ∆ACE = ∆ACB (c.g.c)

=> CE = CB (1)

=> AEC = ABC = 110°

Mà AEC là góc ngoài trong ∆EDC 

=> AEC = EDC + ECD ( Góc ngoài ∆ bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

=> ECD = 110 - 70 

=> EDC = 40°

Xét ∆ EDC : 

DEC + EDC + ECD = 180 °

=> CED = 180 - 70 - 40 

=> CED = 70° 

=> CED = EDC = 70° 

=> ∆EDC cân tại C 

=> CE = CD (2)

Từ (1) và (2) :

=> CB = CD (dpcm)

b) Ta có thể thay sao cho tổng 2 góc đối trong hình thang phải = 180°

1.

trên tia đối tia CD lấy điểm H sao cho AC=CH.Nối BH

=>  TAM GIÁC ABC=HBC(c.g.c)

=>  AB=BH  =>  AB+BD=HB+BD

AC=CH  =>  AC+CD=HC+CD

Tam giác DBH có BD+BH>DH ( bất đẳng thức tam giác)

=> đpcm

2.

góc C = 80 độ

tam giác BMC cóCB=CM nên cân tại C

=>góc BMC=góc CBM=(180 -  80)/2=50

Bài 1:

C₁ là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC 

=> C₁ = 180⁰ - C

=> C = 180⁰ - C₁ = 180⁰ - 130⁰ = 50⁰

Tứ giác ABCD có:

A + B + C + D = 360⁰

A + 80⁰ + 50⁰ + 120⁰ = 360⁰

A = 360⁰ - 250⁰

A = 110⁰

Bài 2:

\(1,5=\frac{3}{2}\)

AB // CD

=> A + D = 180⁰

A = 180⁰ : (3 + 2) . 3 = 108⁰

D = 180⁰ - 108⁰ = 72⁰

AB // CD

=> B + C = 180⁰ (2 góc trong cùng phía)

B = (180⁰ + 24⁰) : 2 = 102⁰

C = 180⁰ - 102⁰ = 78⁰