a: Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD,BC

Xét hình thang ABCD có

I,K lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>IK là đường trung bình của hình thang ABCD

=>IK//AB//CD

Xét ΔBAD có

I,N lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>IN là đường trung bình của ΔBAD

=>IN//AB

Xét ΔCAB có

K,M lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>KM là đường trung bình của ΔBCA

=>KM//AB

KM//AB

KI//AB

mà KM,KI có điểm chung là K

nên K,M,I thẳng hàng(1)

TA có; IN//AB

IK//AB

mà IN,IK có điểm chung là I

nên I,N,K thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra I,N,M,K thẳng hàng

=>MN//AB

mà AB//CD

nên MN//CD

A B C H M O G N

Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

A B C D M N P Q E F T S

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)