Áp dụng định lý 2 của đường trung bình trong hình thang

Có AB//CD => ABCD là hình thang. EF là đường trung bình của hình thang

Nên \(\text{EF}=\frac{CD+AB}{2}\) .

Sai rồi vì EF đâu phải đường trung bình đâu, E là trung điểm BD, F là trung điểm AC và đề bài yêu cầu chứng minh EF=(CD-AB)/2 mà.

Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC

Xét ΔDAB có

M,E lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>ME là đường trung bình của ΔDAB

=>ME//AB và \(ME=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có

N,F lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>NF là đường trung bình cua ΔCAB

=>NF//AB và \(NF=\frac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

MN//AB

ME//AB

mà MN,ME có điểm chung là M

nên M,E,N thẳng hàng(1)

NF//AB

NM//AB

mà NF,NM có điểm chung là N

nên N,F,M thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,E,N,F thẳng hàng

ME+EF+FN=MN

=>\(EF=MN-ME-NF\)

=>\(EF=\frac{AB+CD}{2}-\frac{AB}{2}-\frac{AB}{2}=\frac{CD-AB}{2}\) (ĐPCM)

A B C D E F P

*Chứng minh EF // AB // CD

Gọi P là trung điểm AD có ngay:PF // AB (2) (PF là đường trung bình tam giác DAB)

Lại có PE // DC(là đường trung bình tam giác ADC) và DC // AB nên PE // AB(2)

Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclit suy ra P, E, F thẳng hàng. Mà PF // AB -> FE // AB(3)

Lại có PE // DC -> FE // DC (4). Từ (3) và (4)  suy ra đpcm.

* Chứng minh EF = \(\frac{CD-AB}{2}=\frac{CD}{2}-\frac{AB}{2}\). 

Do PE = 1/2 CD; PF = 1/2 AB và P, E, F thẳng hàng nên:

\(PF+FE=PE\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB+FE=\frac{1}{2}CD\Leftrightarrow FE=\frac{CD-AB}{2}\)

=> đpcm

P/s: ko chắc.

Sửa tí: 

"Có ngay PF // AB (1)"

Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC

Xét ΔDAB có

M,E lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>ME là đường trung bình của ΔDAB

=>ME//AB và \(ME=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có

N,F lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>NF là đường trung bình cua ΔCAB

=>NF//AB và \(NF=\frac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

MN//AB

ME//AB

mà MN,ME có điểm chung là M

nên M,E,N thẳng hàng(1)

NF//AB

NM//AB

mà NF,NM có điểm chung là N

nên N,F,M thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,E,N,F thẳng hàng

ME+EF+FN=MN

=>\(EF=MN-ME-NF\)

=>\(EF=\frac{AB+CD}{2}-\frac{AB}{2}-\frac{AB}{2}=\frac{CD-AB}{2}\) (ĐPCM)

*Chứng minh EF // AB // CD

Gọi P là trung điểm AD có ngay:PF // AB (1) (PF là đường trung bình tam giác DAB)

Lại có PE // DC(là đường trung bình tam giác ADC) và DC // AB nên PE // AB(2)

Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclit suy ra P, E, F thẳng hàng. Mà PF // AB -> FE // AB(3)

Lại có PE // DC -> FE // DC (4). Từ (3) và (4)  suy ra đpcm.

* Chứng minh EF = \(\frac{CD-AB}{2}\)= \(\frac{CD}{2}-\frac{AB}{2}\)

Do PE = 1/2 CD; PF = 1/2 AB và P, E, F thẳng hàng nên:

PF+FE=PE⇔\(\frac{1}{2}\)AB+FE=\(\frac{1}{2}\)CD⇔FE=\(\frac{CD-AB}{2}\)

=> đpcm