AP là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{PAB}\)

BP là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABC}=2\cdot\hat{PBA}\)

Xét ΔPAB có \(\hat{PAB}+\hat{PBA}+\hat{APB}=180^0\)

=>\(\hat{APB}=180^0-\frac12\cdot\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)\)

\(=\frac12\left(360^0-\hat{BAD}-\hat{ABC}\right)=\frac12\cdot\left(\hat{BCD}+\hat{ADC}\right)\)

Vì AP và AQ là hai tia phân giác của hai góc kề bù

nên AP⊥ AQ

Vì BP và BQ là hai tia phân giác của hai góc kề bù

nên BP⊥BQ

Xét tứ giác APBQ có \(\hat{APB}+\hat{AQB}+\hat{PAQ}+\hat{PBQ}=360^0\)

=>\(\hat{APB}+\hat{AQB}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

=>\(\hat{AQB}=180^0-\frac12\cdot\left(\hat{BCD}+\hat{ADC}\right)\)

\(=\frac12\left(360^0-\hat{BCD}-\hat{ADC}\right)=\frac12\cdot\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)\)

Xét tứ giác ABCD có : 

ADC + BCD + DAB + ABC = 360° 

=> ADC + BCD = 360° - ( DAB + CBA )(1)

Xét ∆APB có : 

APB = 180° - ( PAB + PBA )

= \(180°-\left(\frac{DAB}{2}+\frac{CBA}{2}\right)\) 

= \(360°-\left(\frac{DAB+cBA}{2}\right)\) 

=> 360° - (DAB + CBA ) (2)

Từ (1) và (2) 

=> APB = \(\frac{1}{2}\left(C+D\right)\) 

a: ΔEAD vuông tại E

=>\(\hat{EAD}+\hat{EDA}=90^0\)

=>\(\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ADC}\right)=90^0\)

=>\(\hat{BAD}+\hat{ADC}=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên AB//CD
=>ABCD là hình thang

A B C D E F 1 1 2 2

Xét Tứ giác ABCD có: góc A + B + C + D = 360^o =>  100^o + 120^o + (C + D) = 360^o => góc C + D = 140^o

DE; CE lần lượt là p/g của góc D; C => góc D₁ = D/ 2 ; C₁ = C/ 2 => góc (D₁ + C₁) = (D + C) /2 = 70⁰

Xét tam giác DEC có: góc D₁ + góc E + góc C₁ = 180^o => góc DEC = 180^o - (D₁ + C₁) = 180^o - 70^o = 110^o

Vì tia Dx là p/g ngoài của góc D; DE là p/g trong của góc D => Dx vuông góc với DE => DF vuông góc với DE => góc EDF = 90⁰

=> góc D₂ = 90^o - D₁

Vì tia Cy là p/g ngoài  của góc ACD ; CE là p/g trong của góc ACD => Cy vuông góc với CE => CF vuông góc với CE => góc ECF = 90^o

=> góc C₂ = 90^o - C₁

Xét tam giác CDF có: góc C₂ + góc CFD + góc D₂ = 180^o

=> góc CFD + (90^o - D₁ + 90^o - C₁) = 180^o => góc CFD + 180^o - (D₁ + C₁) = 180^o => góc CFD = D₁ + C₁ = 90^o

a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.   A ^ = 144 0 ,    B ^ = 108 0 ,   C ^ = 72 0 ,    D ^ = 36 0

b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được C E D ^ = 126 0 .

Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi  góc của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được  C F D ^ = 54 0