Đề bài có vấn đề gì không nhỉ?

Tam giác OAB vuông cân tại O nên OM là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow OM\perp AB\) hay góc giữa OM và AB bằng 90 độ (cosin góc giữa 2 đường thẳng bằng 0)

Đặt OC=a

=>OA=OB=2a

Xét ΔBOC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)

=>\(\frac{\left(2a\right)^2+a^2-BC^2}{2\cdot2a\cdot a}=cos60=\frac12\)

=>\(5a^2-BC^2=\frac{4a^2}{2}=2a^2\)

=>\(BC^2=3a^2\)

=>\(BC=a\sqrt3\)

OA⊥(OBC)

=>OA⊥ OB và OA⊥ OC

=>\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0;\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=0\)

\(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=OB\cdot OC\cdot cosBOC\)

\(=2a\cdot a\cdot cos60=a^2\)

M là trung điểm của BC

=>\(\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=\frac12\cdot\left(OB^2-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=\frac12\cdot\left(OB^2+OC\cdot OB\right)\)

\(=\frac12\left(4a^2+a^2\right)=2,5a^2\)

Xét ΔOBC có OM là đường trung tuyến

nên \(OM^2=\frac{OB^2+OC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{a^2+4a^2}{2}-\frac{3a^2}{4}=\frac{2\cdot5a^2-3a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}\)

=>\(OM=\frac{a\sqrt7}{2}\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(AB^2=OA^2+OB^2=8a^2\)

=>\(AB=2a\sqrt2\)

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng OM và AB

\(cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}\right|}{OM\cdot AB}\)

\(=\frac{5a^2}{2}:\left(\frac{a\sqrt7}{2}\cdot2a\sqrt2\right)=\frac{5a^2}{2}:\frac{2a^2\cdot\sqrt{14}}{2}=\frac{5}{2\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{28}\)

Tam giác OAB vuông cân tại O

\(\Rightarrow OM\perp AB\)

\(\Rightarrow\) cosin góc giữa 2 đường thẳng này bằng 0

Đặt OC=a

=>OA=OB=2a

Xét ΔBOC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)

=>\(\frac{\left(2a\right)^2+a^2-BC^2}{2\cdot2a\cdot a}=cos60=\frac12\)

=>\(5a^2-BC^2=\frac{4a^2}{2}=2a^2\)

=>\(BC^2=3a^2\)

=>\(BC=a\sqrt3\)

OA⊥(OBC)

=>OA⊥ OB và OA⊥ OC

=>\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0;\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=0\)

\(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=OB\cdot OC\cdot cosBOC\)

\(=2a\cdot a\cdot cos60=a^2\)

M là trung điểm của BC

=>\(\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=\frac12\cdot\left(OB^2-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=\frac12\cdot\left(OB^2+OC\cdot OB\right)\)

\(=\frac12\left(4a^2+a^2\right)=2,5a^2\)

Xét ΔOBC có OM là đường trung tuyến

nên \(OM^2=\frac{OB^2+OC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{a^2+4a^2}{2}-\frac{3a^2}{4}=\frac{2\cdot5a^2-3a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}\)

=>\(OM=\frac{a\sqrt7}{2}\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(AB^2=OA^2+OB^2=8a^2\)

=>\(AB=2a\sqrt2\)

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng OM và AB

\(cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}\right|}{OM\cdot AB}\)

\(=\frac{5a^2}{2}:\left(\frac{a\sqrt7}{2}\cdot2a\sqrt2\right)=\frac{5a^2}{2}:\frac{2a^2\cdot\sqrt{14}}{2}=\frac{5}{2\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{28}\)

Bạn tự vẽ hình nhé!

Giả sử: OC = a ⇒ OB = 3/2a và OA  = 3a

Xét tam giác OAB vuông tại O có: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}a\)

\(\Rightarrow AM=BM=OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a\)

Xét tam giác OMA, có:

\(\cos\widehat{AOM}=\dfrac{OM^2+OA^2-AM^2}{2OM.OA}=\dfrac{OA}{2OM}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) 

Xét tam giác OMB, có:

\(\cos\widehat{BOM}=\dfrac{OM^2+OB^2-BM^2}{2OM.OB}=\dfrac{OB}{2OM}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a.\dfrac{3}{2}a.\dfrac{2\sqrt{5}}{5}-\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a.3a.\dfrac{\sqrt{5}}{4}=\dfrac{-9}{16}a^2\)

\(\Rightarrow\cos\widehat{\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}}{OM.AB}=-\dfrac{1}{10}}\)

\(\Rightarrow cos\left(OM,AB\right)=\dfrac{1}{10}\)

Đặt \(OA=OB=2OC=2a\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=a\sqrt{5}\) \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Qua B kẻ đường thẳng song song OM cắt OC kéo dài tại D

\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác BCD \(\Rightarrow BD=2OM=a\sqrt{5}\)

\(OM||BD\Rightarrow\left(OM;AB\right)=\left(BD;AB\right)=\widehat{ABD}\)

\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2a\sqrt{2}\)

\(AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{OA^2+OC^2}=a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{ABD}=\dfrac{AB^2+BD^2-AD^2}{2AB.BD}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)

Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow MN||AB\Rightarrow\widehat{OMN}\) là góc giữa OM và AB

Đặt \(OA=a\)

\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+k^2a^2}=a\sqrt{k^2+1}\)

\(AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=a\sqrt{k^2+1}\)

\(BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=a.k\sqrt{2}\)

\(MN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\sqrt{k^2+1}\) ; \(OM=\dfrac{BC}{2}=a.\dfrac{k\sqrt{2}}{2}\) ; \(ON=\dfrac{1}{2}AC=a.\dfrac{\sqrt{k^2+1}}{2}\)

\(cos\widehat{OMN}=cos60^0=\dfrac{OM^2+MN^2-ON^2}{2OM.MN}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2.\dfrac{k^2}{2}}{2.a^2.\dfrac{k\sqrt{2k^2+2}}{4}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2k=\sqrt{2k^2+2}\)

\(\Leftrightarrow4k^2=2k^2+2\Rightarrow k=1\)

\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=OA\sqrt{1+k^2}\)

\(OM=BM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{OA}{2}\sqrt{1+k^2}\)

\(cos\widehat{OMB}=cos60^0=\dfrac{OM^2+BM^2-OB^2}{2OM.BM}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA^2\left(\dfrac{k^2+1}{4}\right)+OA^2\left(\dfrac{k^2+1}{4}\right)-k^2OA^2}{2.OA^2\left(\dfrac{k^2+1}{4}\right)}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-k^2}{1+k^2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow k^2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Đáp án A