Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=OA\sqrt{1+k^2}\)
\(OM=BM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{OA}{2}\sqrt{1+k^2}\)
\(cos\widehat{OMB}=cos60^0=\dfrac{OM^2+BM^2-OB^2}{2OM.BM}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{OA^2\left(\dfrac{k^2+1}{4}\right)+OA^2\left(\dfrac{k^2+1}{4}\right)-k^2OA^2}{2.OA^2\left(\dfrac{k^2+1}{4}\right)}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-k^2}{1+k^2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow k^2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Cau 33:
\(\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)^2}=\sqrt{u^2+v^2-2\cdot u\cdot v\cdot cos120}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2-2\cdot4\cdot3\cdot\dfrac{-1}{2}}=\sqrt{37}\)
Bạn tự vẽ hình nhé!
Giả sử: OC = a ⇒ OB = 3/2a và OA = 3a
Xét tam giác OAB vuông tại O có: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}a\)
\(\Rightarrow AM=BM=OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a\)
Xét tam giác OMA, có:
\(\cos\widehat{AOM}=\dfrac{OM^2+OA^2-AM^2}{2OM.OA}=\dfrac{OA}{2OM}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
Xét tam giác OMB, có:
\(\cos\widehat{BOM}=\dfrac{OM^2+OB^2-BM^2}{2OM.OB}=\dfrac{OB}{2OM}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\)
Ta có: \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a.\dfrac{3}{2}a.\dfrac{2\sqrt{5}}{5}-\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a.3a.\dfrac{\sqrt{5}}{4}=\dfrac{-9}{16}a^2\)
\(\Rightarrow\cos\widehat{\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}}{OM.AB}=-\dfrac{1}{10}}\)
\(\Rightarrow cos\left(OM,AB\right)=\dfrac{1}{10}\)
Qua B kẻ đường thẳng song song OM cắt OC kéo dài tại D
\(\Rightarrow OM||\left(ABD\right)\Rightarrow d\left(OM;AB\right)=d\left(OM;\left(ABD\right)\right)=d\left(O;\left(ABD\right)\right)\)
Gọi E là trung điểm BD, từ O kẻ \(OH\perp AE\)
\(BD||OM\) và M là trung điểm BC\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác BCD
\(\Rightarrow BD=2OM=BC\Rightarrow\Delta BCD\) vuông cân tại B
O là trung điểm CD (do OM là đường trung bình BCD), E là trung điểm BD
\(\Rightarrow OE\) là đường trung bình tam giác BCD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\OE||BC\Rightarrow OE\perp BD\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}OA\perp OB\\OA\perp OC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow OA\perp\left(OBC\right)\Rightarrow OA\perp BD\)
\(\Rightarrow BD\perp\left(OAE\right)\Rightarrow BD\perp OH\)
\(\Rightarrow OH\perp\left(ABD\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(ABD\right)\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAE:
\(OH=\dfrac{OA.OE}{AE}=\dfrac{OA.OE}{\sqrt{OA^2+OE^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Đặt OC=a
=>OA=OB=2a
Xét ΔBOC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)
=>\(\frac{\left(2a\right)^2+a^2-BC^2}{2\cdot2a\cdot a}=cos60=\frac12\)
=>\(5a^2-BC^2=\frac{4a^2}{2}=2a^2\)
=>\(BC^2=3a^2\)
=>\(BC=a\sqrt3\)
OA⊥(OBC)
=>OA⊥ OB và OA⊥ OC
=>\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0;\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=0\)
\(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=OB\cdot OC\cdot cosBOC\)
\(=2a\cdot a\cdot cos60=a^2\)
M là trung điểm của BC
=>\(\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=\frac12\cdot\left(OB^2-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=\frac12\cdot\left(OB^2+OC\cdot OB\right)\)
\(=\frac12\left(4a^2+a^2\right)=2,5a^2\)
Xét ΔOBC có OM là đường trung tuyến
nên \(OM^2=\frac{OB^2+OC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{a^2+4a^2}{2}-\frac{3a^2}{4}=\frac{2\cdot5a^2-3a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}\)
=>\(OM=\frac{a\sqrt7}{2}\)
ΔOAB vuông tại O
=>\(AB^2=OA^2+OB^2=8a^2\)
=>\(AB=2a\sqrt2\)
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng OM và AB
\(cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}\right|}{OM\cdot AB}\)
\(=\frac{5a^2}{2}:\left(\frac{a\sqrt7}{2}\cdot2a\sqrt2\right)=\frac{5a^2}{2}:\frac{2a^2\cdot\sqrt{14}}{2}=\frac{5}{2\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{28}\)
Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow MN||AB\Rightarrow\widehat{OMN}\) là góc giữa OM và AB
Đặt \(OA=a\)
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+k^2a^2}=a\sqrt{k^2+1}\)
\(AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=a\sqrt{k^2+1}\)
\(BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=a.k\sqrt{2}\)
\(MN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\sqrt{k^2+1}\) ; \(OM=\dfrac{BC}{2}=a.\dfrac{k\sqrt{2}}{2}\) ; \(ON=\dfrac{1}{2}AC=a.\dfrac{\sqrt{k^2+1}}{2}\)
\(cos\widehat{OMN}=cos60^0=\dfrac{OM^2+MN^2-ON^2}{2OM.MN}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2.\dfrac{k^2}{2}}{2.a^2.\dfrac{k\sqrt{2k^2+2}}{4}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2k=\sqrt{2k^2+2}\)
\(\Leftrightarrow4k^2=2k^2+2\Rightarrow k=1\)
e cảm ơn ạ