• a) \(m = \left(\right. A D M \left.\right) \cap \left(\right. A B N \left.\right)\) là đường thẳng duy nhất đi qua \(A\) nằm trong cả hai mặt phẳng. (Dựng được bằng cách lấy một mặt phẳng phụ \(\pi\) qua \(A\) và lấy giao tuyến \(\pi \cap \left(\right. A D M \left.\right)\) và \(\pi \cap \left(\right. A B N \left.\right)\).)
• b) Với \(P \in m\) (nội tiếp tứ diện), đặt \(Q = M P \cap \left(\right. A D C \left.\right)\). Khi đó \(\left(\right. M N P \left.\right) \cap \left(\right. A D C \left.\right) = N Q\).

a: Chọn mp(ACD) có chứa MN

Trong mp(BCD), gọi K là giao điểm của BO và CD
K∈BO⊂(ABO)

K∈CD⊂(ACD)

Do đó: K∈(ABO) giao (ACD)(1)

ta có: A∈(ABO)

A∈(ACD)

Do đó: A∈(ABO) giao (ACD)(2)

Từ (1),(2) suy ra (ABO) giao (ACD)=AK

Gọi H là giao điểm của AK và MN

=>H là giao điểm của MN và (BAO)

b: Chọn mp(ABK) có chứa AO

H∈AK⊂(ABK)

H∈MN⊂(BMN)

Do đó: H∈(ABK) giao (BMN)(3)

Ta có: B∈(ABK)

B∈(BMN)

Do đó: B∈(ABK) giao (BMN)(4)

Từ (3),(4) suy ra (ABK) giao (BMN)=BH

Gọi I là giao điểm của BH và AO

=>I là giao điểm của AO và mp(BMN)

Mình sẽ tóm tắt và giải từng ý nhé.

Đề cho: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác.
M nằm trong tam giác SBC, N nằm trong tam giác SCD.

a) Giao tuyến của (AMN) và (ABCD)

• A thuộc (AMN) và A cũng thuộc đáy (ABCD).
• M thuộc (AMN) nhưng M thuộc cạnh SB nên không nằm trên đáy.
• N thuộc (AMN) nhưng N thuộc cạnh SD cũng không nằm trên đáy.
  → Để tìm giao tuyến, ta cần 2 điểm chung. Điểm A có rồi, điểm thứ hai là giao điểm của MN với đáy (ABCD) nếu có.
  Nhưng MN nối M (SB) và N (SD), cả hai không thuộc đáy, nên để tìm điểm đó ta phải xét: SB và SD giao đáy tại B và D, nối BD cắt MN tại một điểm I. I thuộc đáy, I thuộc MN, nên I ∈ (AMN) ∩ (ABCD).
  → Giao tuyến chính là AI.

b) Giao điểm của MN với (SAC)

• M thuộc SB, N thuộc SD, mặt phẳng (SAC) chứa S, A, C.
• SB và SD đều nằm trong (SBD), không phải (SAC), nhưng đường MN có thể cắt (SAC) tại điểm P. Để tìm P, ta tìm giao điểm của MN với đường SC (vì SC nằm trong cả (SAC) và chứa điểm từ M→N theo hướng hợp lý).

c) Giao điểm của SC với (AMN)

• SC nằm trong (SAC).
• Mặt phẳng (AMN) chứa A, M, N. Để tìm giao điểm Q, ta xét SC cắt MN hoặc cắt một đường trong (AMN). Trong trường hợp này SC và MN có thể cắt nhau tại chính điểm P đã tìm ở câu b).

Tóm lại:
a) AI (I là MN ∩ BD)
b) P = MN ∩ (SAC) (thường là trên SC)
c) Cùng điểm P đó

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa để nhìn rõ hơn mình có thể làm ngay.

Cho mình xin 1 tick với ạ

a) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}M\in\left(MCD\right)\\M\in AB\subset\left(NAB\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow M\in\left(MCD\right)\cap\left(NAB\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}N\in CD\subset\left(MCD\right)\\N\in\left(NAB\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow N\in\left(MCD\right)\cap\left(NAB\right)\)

\(\Rightarrow MN=\left(MCD\right)\cap\left(NAB\right)\)

b) Trong mp(BCD), gọi \(P=NG\cap BD\)

     Trong mp(BAD), gọi \(Q=PM\cap AD\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}N\in\left(GMN\right)\\N\in CD\subset\left(ACD\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow N\in\left(GMN\right)\cap\left(ACD\right)\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}Q\in MP\subset\left(GMN\right)\\Q\in AD\subset\left(ACD\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow Q\in\left(GMN\right)\cap\left(ACD\right)\)

\(\Rightarrow NQ=\left(GMN\right)\cap\left(ACD\right)\)

a) Trong mặt phẳng (α) vì AB và CD không song song nên AB ∩ DC = E

=> E ∈ DC, mà DC ⊂ (SDC)

=> E ∈ ( SDC). Trong (SDC) đường thẳng ME cắt SD tại N

=> N ∈ ME mà ME ⊂ (MAB)

=> N ∈ ( MAB). Lại có N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)

b) O là giao điểm của AC và BD => O thộc AC và BD, mà AC ⊂ ( SAC)

=> O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)

=> O là một điểm chung của (SAC) và (SBD), mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO

Trong mặt phẳng (AEN) gọi I = AM ∩ BN thì I thuộc AM và I thuộc BN

Mà AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD). Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD) nên I thuộc giao tuyến SO của (SAC) và (SBD) tức là S, I, O thẳng hàng hay SO, AM, BN đồng quy.

a) Gọi \(N=DK\cap AC;M=DJ\cap BC\).

Ta có \(\left(DJK\right)\cap\left(ABC\right)=MN\Rightarrow MN\subset\left(ABC\right)\)

Vì \(L=\left(ABC\right)\cap JK\) nên dễ thấy \(L=JK\cap MN\)