Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
$\Rightarrow AC = a\sqrt2$
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:
- Đường kính: $AB = a$
- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
⇒ IA=IB=IC=IH=IK
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.
Suy ra bán kính R= a 2 2
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Do đó:
- Đường kính mặt cầu: $AB = a$
- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$
Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$
Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$
$\widehat{AKB}=90^\circ$
Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$
a) Vì I là trọng tâm của tam giác ABD nên \(AI=\dfrac{1}{3}AC\)
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=2a$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên: $AH\perp SB$
⇒ $\widehat{AHB}=90^\circ$
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên: $AK\perp SC$
⇒ $\widehat{AKC}=90^\circ$
Suy ra các điểm $A,H,K,C,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AC$.
Tính $AC$: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}$ $=2a\sqrt2$
Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AC}{2}=a\sqrt2$
Thể tích khối cầu:
$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi(a\sqrt2)^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\cdot2\sqrt2,a^3$ $=\dfrac{8\sqrt2}{3}\pi a^3$
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=a\sqrt2$
Trong tam giác vuông $SAB$:
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}$ $=\sqrt{(2a)^2+a^2}$ $=a\sqrt5$
Trong tam giác vuông $SAC$:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$ $=\sqrt{4a^2+2a^2}$ $=a\sqrt6$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$,
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$.
Ta có công thức quen thuộc: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
Suy ra $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
$=\dfrac{4a^2}{a\sqrt5\cdot a\sqrt6} =\dfrac{4}{\sqrt{30}}$
Thể tích khối chóp lớn:
$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC =\dfrac{a^2}{2}$
⇒ $V_{S.ABC} =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot2a =\dfrac{a^3}{3}$
Áp dụng tỉ số thể tích:
$V_{S.AHK} =V_{S.ABC}\left(\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}\right)$
$=\dfrac{a^3}{3}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{30}}$
Rút gọn ta được $V_{S.AHK}=\dfrac{8a^3}{45}$
Vậy chọn B. $V=\dfrac{8a^3}{45}$
